주어진 함수가 도함수(derivative)가 될 필요/충분 조건

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실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 실함수 $F : I \to \R$가 존재하여, 모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = F'(x)$를 만족할 때, $f$를 $F$의 도함수(derivative)라 한다. 이 때, 주어진 함수 $f$가 도함수가 될 (상대적으로 간단한) 필요/충분조건을 찾는 것은 수학에서 오래된 문제 중의 하나이다.

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실함수 $f$가 도함수가 될 충분조건 - 연속성

우선 $f$가 도함수가 될 충분조건이 $f$가 연속(continuous)이라는 사실은 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)를 통해서 알 수 있다.

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정리. 미적분학의 기본정리 1(fundamental theorem of calculus 1)

함수 $f$가 닫힌구간 $[a,\, b]$에서 연속이라 하자. 그러면 함수

\[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt \]

는 닫힌구간 $[a,\, b]$에서 (균등)연속이며 열린구간 $(a,\, b)$에서 미분이 가능하고, 모든 $x \in (a,\, b)$에 대하여 $F'(x) = f(x)$가 성립한다.

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따라서 위 정리에 의해서 $f$가 연속이면 $f$는 도함수가 됨을 알 수 있다. 하지만 모든 도함수가 연속인 것은 아닌데, 이에 대한 예로 다음과 같은 함수를 생각해 볼 수 있다.

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예제 1. 함수 $F : \R \to \R$을 다음과 같이 정의하자.

\[ F(x) = \begin{cases} x^2 \sin \big( \tfrac{1}{x} \big) & \text{if} \;\; x \neq 0 \\ 0 & \text {if} \;\; x = 0 \end{cases} \]

그러면 간단한 계산을 통하여 이 함수 $F$의 도함수는

\[ f(x) := F'(x) = \begin{cases} 2 x \sin \big( \frac{1}{x} \big) - \cos \big( \frac{1}{x} \big) & \text{if} \;\; x \neq 0 \\ 0 & \text{if} \;\; x = 0 \end{cases} \]

임을 알 수 있는데, ($\cos \big( \tfrac{1}{x} \big)$의 $0$에서의 극한이 존재하지 않으므로) $f$는 $0$에서 연속이 아니다.$ $

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따라서 어떤 함수 $f$가 연속이라는 사실은 $f$가 도함수가 될 충분조건이기는 하지만 필요조건은 되지 못한다.

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실함수 $f$가 도함수가 될 필요조건 1 - 다르부 성질

위의 예제 1에서 불연속점을 가지는 도함수가 존재한다는 사실을 확인하였다. 하지만 어떤 도함수의 불연속점이 존재한다면, 이 점은 어떤 특별한 성질을 만족해야만 한다. 이를 확인해 보기 위해 먼저 다음 예를 살펴보자.

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예제 2. 다음과 같이 정의된 함수

\[ g(x) = \begin{cases} 0 & \text{if} \;\; x \neq 0 \\ 1 & \text {if} \;\; x = 0 \end{cases} \]

는 (어떤 함수의) 도함수가 될수 없다. 만약에 이 함수의 원함수(primitive function) $G$가 존재한다고 하면, 적당한 상수 $C$가 존재하여 구간 $(-\infty, 0) \cup (0,\, \infty)$에서 $G(x) = C$의 형태가 되어야만 하고, $G$는 연속함수이므로 $G(0) = C$가 된다. 하지만 이 경우, 모든 $x \in \R$에 대하여 $G'(x) = 0$이 되어 $G'(x) = 1$이라는 사실과 모순이 발생한다.$ $

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예제 1의 함수는 $x=0$에서 진동 불연속점(oscillating discontinuity)을 가지는 반면, 예제 2의 함수는 $x=0$에서 비약 불연속점(jump discontinuity)를 가진다. 일반적으로 제 1 불연속점 (제거 가능 불연속점(removable discontinuity) 또는 비약 불연속점)을 가지는 함수는 절대 도함수가 될 수 없음을 보일 수 있는데, 이를 정리한 것이 아래에서 설명할 다르부의 정리(Darboux's theorem)이다.

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정리. 다르부의 정리(Darboux's theorem)

함수 $F$가 닫힌구간 $[a,\, b]$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 $F'(a) < k < F'(b)$인 임의의 $k$에 대하여, $F'(c) = k$를 만족하는 $c \in (a,\, b)$가 존재한다. 다시 말해, $F'([a,\, b])$는 구간이 된다.

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실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 주어졌다고 하자. 만약 $a,\, b \in I$와 $f(a) < k < f(b)$인 임의의 $k$에 대하여, $f'(c) = k$를 만족하는 $c \in (a,\, b)$가 언제나 존재하면, $f$는 다르부 성질(Darboux property) 또는 중간값 성질(intermediate value property)을 갖는다고 하고, $f$를 다르부 함수(Darboux function)라 정의한다. 따라서 다르부의 정리에 의하면 모든 도함수는 다르부 함수임을 알 수 있다.(1)

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다르부 정리에 의하면, 중간값 성질을 갖는 함수 $f$가 어떤 점에서 불연속이라면, 이 불연속점은 제 1종 불연속점일 수 없다. 반면 2종 불연속점만을 가지지만 도함수가 아닌 함수가 존재하는데, 다음 예를 통해 확인해 보도록 하자.

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예제 3. $k = 0,\, 1,\, 2$에 대하여, 다음과 같이 정의된 함수를 정의하자.

\[ h_k(x) = \begin{cases} \cos \big( \tfrac{1}{x} \big) & \text{if} \;\; x \neq 0 \\ k & \text {if} \;\; x = 0 \end{cases} \]

우선 $h_0$과 $h_1$은 다르부 함수인 반면, $h_2$는 다르부 함수가 아님을 확인하자. 즉, $h_2$는 중간값 성질을 가지지 않으므로 절대로 도함수가 될 수 없다.

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반면 $h_0$는 (중간값 성질을 만족하는) 도함수이다. 이를 보이기 위해서 예제 1에서 정의한 함수 $F$를 생각해 보자. 또한 함수 $h^* : \R \to \R$를

\[ h^*(x) = \begin{cases} 2 x \sin \big( \frac{1}{x} \big) & \text{if} \;\; x \neq 0 \\ 0 & \text {if} \;\; x = 0 \end{cases} \]

으로 정의하면, $h^*$는 연속함수 (따라서 도함수)이고, $h_0(x) = h^*(x) - F'(x)$가 성립한다. 그러므로 $h_0$ 또한 도함수이다.

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하지만 $h_1$은 중간값 성질을 만족함에도 불구하고 도함수가 될 수 없다. 만약 $h_1$이 도함수라면, $g = h_1 - h_0$ 또한 도함수가 되어야 하는데, 예제 2에서 $g$가 도함수가 아님을 이미 확인했기 때문에 모순이 발생한다.$ $

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참고. 중간값 정리에 의하면 모든 연속함수는 중간값 성질을 가진다. 하지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는데, 위의 예제에서 $h_0,\, h_1$이 그 반례이다. 반면, 중간값 성질을 만족하는 함수 $F$가 단사(injection)이거나 단조(monotone) 함수인 경우, 연속함수가 됨이 알려져 있다.

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실함수 $f$가 도함수가 될 필요조건 2 - 베르 1급 성질

실함수 $F : I \subseteq \R \to \R$가 $I$에서 미분가능하다고 하고 $F$의 도함수를 $f$라 하자. 이제 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, 함수족 $(F_n)$을 다음과 같이 정의하자.

\[ F_n(x) = \frac{F \big( x + \tfrac{1}{n} \big) - F(x)}{\tfrac{1}{n}} = n \left( F \big(x + \tfrac{1}{n} \big) - F(x) \right) \]

그러면 각각의 $F_n$은 모두 연속함수이고, 각각의 $x \in I$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} F_n(x) = F'(x) = f(x)$가 성립함을 알 수 있다. 다시 말하면, 모든 도함수 $f$는 연속함수들의 점별 극한(pointwise limit)으로 표현하는 것이 가능하다. 수학자 베르(Rene-Louis Baire, 1874 - 1932)는 연속함수들의 점별 극한으로 나타낼 수 있는 함수를 베르 1급 함수(Baire class 1 function)으로 정의하였다.(2) 이 정의에 따르면 모든 도함수는 베르 1급 함수임을 알 수 있다. 하지만 역은 성립하지 않는데, 다음 예는 베르 1급 함수이지만 도함수가 아닌 함수를 보여준다.

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예제 4. 각각의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, 함수 $g_n$을 다음과 같이 정의하자.

\[ g_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{if} \;\; x \in \big( -\infty,\, -\tfrac{1}{n} \big] \cup \big[ \tfrac{1}{n},\, \infty \big) \\ nx + 1 & \text {if} \;\; x \big[ -\tfrac{1}{n},\, 0 \big] \\ -nx + 1 & \text {if} \;\; x \big[ 0,\, \tfrac{1}{n} \big] \\ \end{cases} \]

그러면 간단한 극한 계산을 통해서 각각의 $x \in \R$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} g_n(x) = g(x)$가 성립함을 확인할 수 있다. 즉, 예제 2에서 정의한 함수 $g$는 베르 1 함수이지만 도함수는 아니다.$ $

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정리.

도함수의 집합을 $\Delta(\R,\, \R)$라 하자. 그러면 $\abs{\Delta(\R,\, \R)} = \abs{\R}$이 성립한다.

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증명. 먼저 베르 0급 함수(연속함수)들의 집합을 $B_0(\R,\, \R)$, 베르 1급 함수들의 집합을 $B_1(\R,\, \R)$으로 나타내자. 우선 임의의 상수함수는 베르 0급 함수이기 때문에, $\abs{\R} \leq \abs{B_0(\R,\, \R)}$가 성립한다. 한 편, 베르 0급 함수 $f$는 연속함수이므로, $q_n \to x$을 만족하는 임의의 유리수열 $(q_n)$에 대하여 $f(q_n) \to f(x)$를 만족한다. 따라서 다음과 같이 정의된 사상 $f \mapsto f|_{\Q}$는 $B_0(\R,\, \R)$에서 $F(\Q,\, \R)$로 가는 단사(injection) 사상이 된다. $\abs{F(\Q,\, \R)} = \abs{\R^{\Q}}$이므로,

\[ \abs{B_0(\R,\, \R)} \leq \abs{\R^{\Q}} = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \abs{\R} \]

이다. 따라서 $\abs{B_0(\R,\, \R)} = \abs{\R}$임을 알 수 있다.

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이제 $\abs{B_1(\R,\, \R)}$을 구해보자. 임의의 상수함수는 베르 1급 함수이기 때문에, $\abs{\R} \leq \abs{B_1(\R,\, \R)}$이 성립한다. 또한 베르 1급 함수 $f$는 베르 0급 함수열 $(f_n)$의 극한으로 나타낼 수 있으므로, 다음과 같이 정의된 사상 $f \mapsto (f_1,\, f_2,\, \ldots,\, f_n,\, \ldots)$는 $B_1(\R,\, \R)$에서 $F(\N,\, B_0(\R,\, \R))$로 가는 단사 사상이다. 따라서 $\abs{B_1(\R,\, \R)} \leq \abs{(B_0(\R,\, \R))^{\N}} = \abs{\R^{\N}} = \abs{\R}$이고 $\abs{B_1(\R,\, \R)} = \abs{\R}$이 성립한다.(3)

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마지막으로 임의의 상수함수는 도함수이기 때문에, $\abs{\R} \leq \abs{\Delta(\R,\, \R)}$가 성립한다. 또한 임의의 도함수는 베르 1급 함수이므로 $\abs{\Delta(\R,\, \R)} \leq \abs{B_1} = \abs{\R}$도 성립한다. 그러므로 $\abs{\Delta(\R,\, \R)} = \abs{\R} \; (= \abs{B_0(\R,\, \R)} = \abs{B_1(\R,\, \R)})$이다.$ $

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모든 실함수들의 집합을 $F(\R,\, \R)$이라 하면, $\abs{F(\R,\, \R)} = \abs{\R^{\R}} > \abs{\R}$이다. 따라서 $\abs{\Delta(\R,\, \R)} < \abs{F(\R,\, \R)}$이므로 대부분의 함수들은 도함수가 아님을 알 수 있다.

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결론

일반적으로 주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 도함수인지를 밝히는 여부는 간단한 문제가 아니다. 따라서 이번글에서는 $f$에 도함수가 될 비교적 간단한 필요/충분 조건들에 대하여 알아 보았다. 도함수, 베르 0급 함수(연속함수), 다르부 함수, 베르 1급 함수들의 집합을 각각 $\Delta(\R,\, \R)$, $B_0(\R,\, \R)$, $D(\R,\, \R)$, $B_1(\R,\, \R)$로 나타내기로 하자. 그러면 이번 글의 내용은

\[ D(\R,\, \R) \cap B_1(\R,\, \R) \subsetneq \Delta(\R,\, \R) \subsetneq B_0(\R,\, \R) \]

로 요약할 수 있다.

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  1. 참고로 모든 연속함수는 도함수이고 모든 도함수는 중간값 성질을 가지므로, 중간값 정리(intermediate value theorem)는 다르부의 정리의 한 특수한 경우임을 알 수 있다.
  2. 연속함수를 베르 0급 함수(Baire class 0 function), 연속함수들의 점별 극한으로 나타낼 수 있는 함수를 베르 1급 함수(Baire class 1 function), 일반적으로 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, 베르 $n-1$급 함수들의 점별 극한으로 나타낼 수 있는 함수를 베르 $n$급 함수(Baire class $n$ function)로 정의한다.
  3. 같은 논리로 임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{B_n(\R,\, \R)} = \abs{\R}$임을 보일 수 있다.