다항함수/계승함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값

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에서 다항함수를 지수함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 생각해 보았다. 이번에는 다음과 같이

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n!}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!},\, \ldots \]

다항함수를 계승함수로 나눈 형태의 무한급수의 값을 구하는 일반적인 방법에 대하여 알아볼 것이다. 다시 한번 $\Delta(k,\, n)$의 정의로 시작한다.

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정의.

주어진 다항식 $p(x)$와 음이 아닌 자연수 $k \geq 0$에 대하여, $\Delta(p\,;\, k,\, x)$를 다음과 같이 정의한다.

\[ \begin{align*} \Delta(p\,;\,0,\, x) &= p(x), \quad \forall \, x \in \R \\[5px] \Delta(p\,;\,k,\, x) &= \Delta(p\,;\,k-1,\, x+1) - \Delta(p\,;\,k-1,\, x) \quad \forall \, k \in \N,\, x \in \R \end{align*} \]

또한 표기상 혼동이 없을때에는 $\Delta(p\,;\, k,\, x)$ 대신에 간단히 $\Delta(k,\, x)$를 쓰기로 한다.

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아래 그림은 특히 $x$가 음이 아닌 정수인 경우, 즉, $x = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots$에 대하여 $\Delta(k,\, x)$를 구하는 과정을 그림으로 나타낸 것이다.

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다항함수/계승함수 형태로 이루어진 된 무한급수의 값

논의를 진행하기에 앞서, $\Delta(k,\, x)$의 성질을 먼저 알아보자. 이미 이전 글에서 $0 \leq k \leq d$에 대하여, $\Delta(k,\, x)$은 $d-k$차 다항함수이며. $k \geq d+1$인 경우에는, $\Delta(k,\, x) = 0$이라는 사실을 살펴 보았다. 또한 다음의 보조정리가 나중에 나올 정리를 증명하는데 중요한 역할을 한다.

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보조정리.

$d$-차 다항함수 $p(x)$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\[ \Delta(k,\, x) = \sum_{n=0}^{k} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(x+n), \quad \forall \; x \in \R \tag*{$\textcolor{myblue}{(\ast)}$} \]

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증명. $k$에 대한 수학적 귀납법으로 증명을 할 것이다. 우선 $k=0$인 경우 식 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$이 성립한다는 사실은 간단히 확인할 수 있다. 이제 식 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$이 어떤 $k \in \N$일 때 성립한다고 가정하자. 그러면

\[ \begin{align*} \Delta(k+1,\, x) &= \Delta(k,\, x+1) - \Delta(k,\, x) \\[5px] &= \sum_{n=0}^{k} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(x+1+n) - \sum_{n=0}^{k} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(x+n) \\[5px] &= \left[ \sum_{n=0}^{k-1} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(x+1+n) + p(x+1+k) \right] - \left[ \sum_{n=1}^{k} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(x+n) + (-1)^{k} p(x) \right] \\[5px] &= (-1)^{k+1} p(x) + p(x+1+n) + \sum_{n=1}^{k} (-1)^{k+1-n} \binom{k}{n-1} p(x+n) + \sum_{n=1}^{k} (-1)^{k+1-n} \binom{k}{n} p(x+n) \\[5px] &= (-1)^{k+1} p(x) + p(x+1+n) + \sum_{n=1}^{k} (-1)^{k+1-n} \left[ \binom{k}{n-1} + \binom{k}{n} \right] p(x+n) \\[5px] &= (-1)^{k+1} p(x) + p(x+1+n) + \sum_{n=1}^{k} (-1)^{k+1-n} \binom{k+1}{n} p(x+n) \\[5px] &= \sum_{n=0}^{k+1} (-1)^{k+1-n} \binom{k+1}{n} p(x+n) \end{align*} \]

즉, $\textcolor{myblue}{(\ast)}$이 $k+1$일 때에도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해서 임의의 $k \geq 0$에 대하여 식 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$이 성립한다.$ $

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정리.

$d$-차 다항함수 $p(x)$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\[ S := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} = e\sum_{k=0}^{d} \frac{\Delta(k,\, 0)}{k!} \tag*{$\textcolor{myblue}{(\ast\ast)}$} \]

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증명. 위 보조정리에서 $x = 0$인 경우,

\[ \begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Delta(k,\, 0)}{k!} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \sum_{n=0}^{k} (-1)^{k-n} \binom{k}{n} p(n) \right) \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{k} \binom{k}{n} \frac{(-1)^{k-n} p(n)}{k!} \\[5px] &= \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{k} \frac{(-1)^{k-n} p(n)}{n! (k-n)!} \\[5px] &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(-1)^{k-n} p(n)}{n! (k-n)!} \\[5px] &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} \right) \left( \sum_{k=m}^{\infty} \frac{(-1)^{k-n}}{(k-n)!} \right) \\[5px] &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!} \right) \\[5px] &= \frac{1}{e} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} \right) \end{align*} \]

따라서 위 식의 양변에 $e$를 곱해주고, $k \geq d+1$인 경우에는, $\Delta(k,\, x) = 0$라는 사실을 이용하면,

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} = e\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Delta(k,\, 0)}{k!} = e\sum_{k=0}^{d} \frac{\Delta(k,\, 0)}{k!} \]

이 성립한다.$ $

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정리의 활용

이제 몇 가지 예제를 통해서 위 정리를 어떻게 이용할 수 있는지 확인해 보자.

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예제 1. 다음 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$의 값을 구해보자. 우선 $d=2$차 다항함수 $p(x) = x^2$을 정의하고 $\Delta(k,\, 0)$을 구해보면 를 얻는다. 여기에 식 $\textcolor{myblue}{(\ast\ast)}$를 적용하면

\[ \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!} &= e \left( \frac{\Delta(0,\, 0)}{0!} + \frac{\Delta(1,\, 0)}{1!} + \frac{\Delta(2,\, 0)}{2!} \right) \\[5px] &= e \left( \frac{0}{1} + \frac{1}{1} + \frac{2}{2} \right) \\[5px] &= 2e \tag*{$\textcolor{myblue}{\square}$} \end{align*} \]

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예제 2. 다음 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n - 3}{n!}$의 값을 구해보자. 마찬가지 방법으로 $d=1$차 다항함수 $p(x) = 2x - 3$을 정의하고 $\Delta(k,\, 0)$을 구해보면 를 얻는다. 그러므로 위 정리에 의해

\[ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n - 3}{n!} &= 3 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2 - 1}{n!} \\[5px] &= 3 + e \left( \frac{\Delta(0,\, 0)}{0!} + \frac{\Delta(1,\, 0)}{1!} \right) \\[5px] &= 3 + e \left( \frac{-3}{1} + \frac{2}{1}\right) \\[5px] &= 3 - e \tag*{$\textcolor{myblue}{\square}$} \end{align*} \]

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다항함수/(지수함수*계승함수) 형태로 이루어진 된 무한급수의 값
따름정리.

$d$차 다항함수 $p(x)$와 임의의 실수 $a \in \R$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\[ S := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{a^n n!} = e^{\tfrac{1}{a}} \sum_{k=0}^{d} \frac{\Delta(k,\, 0)}{a^k k!} \tag*{$\textcolor{myblue}{(\ast\!\ast\!\ast)}$} \]

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증명. 위 정리와 증명과정과 거의 동일한 방법으로

\[ \sum_{k=0}^{d} \frac{\Delta(k,\, 0)}{a^k k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\Delta(k,\, 0)}{a^k k!} = e^{-\tfrac{1}{a}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{a^n n!} \]

를 보일 수 있다. 이제 위 식의 양변에 $e^{\tfrac{1}{a}}$를 곱해주고 정리하면 따름정리를 얻는다.$ $

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예제 3. 다음 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!}$의 값을 구해보자. 우선 주어진 무한급수를 따름정리를 적용할 수 있는 형태로 정리하자.

\[ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!} &= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^2 - 3}{(-1)^{n-1} n!} \\[5px] &= - \frac{(-1)^2 - 3}{(-1)^{-1} 0!} - \frac{(1-1)^2 - 3}{(-1)^{1-1} 1!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n-1)^2 - 3}{(-1)^{n-1} n!} \\[5px] &= -2 + 3 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n-1)^2 - 3}{(-1)^n n!} \end{align*} \]

따라서 $d=2$차 다항함수 $p(x) = (x-1)^2 - 3$에 대하여 $\Delta(k,\, 0)$을 구해보면 를 얻는다. 이제 식 $\textcolor{myblue}{(\ast\!\ast\!\ast)}$를 적용하면,

\[ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 - 3}{(-1)^n (n+1)!} &= -2 + 3 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n-1)^2 - 3}{(-1)^n n!} \\[5px] &= -2 + 3 - e^{-1} \left( \frac{\Delta(0,\, 0)}{(-1)^0 0!} + \frac{\Delta(1,\, 0)}{(-1)^1 1!} + \frac{\Delta(2,\, 0)}{(-1)^2 2!} \right) \\[5px] &= -2 + 3 - e^{-1} \left( \frac{-2}{1} + \frac{-1}{-1} + \frac{2}{2} \right) \\[5px] &= 1 \tag*{$\textcolor{myblue}{\square}$} \end{align*} \]

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