특수한 형태의 무한급수와 벨수(Bell number), 감마함수(gamma function)와의 연관성

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이전 글에서 특수한 형태의 무한급수 (다항함수를 지수함수 또는 계승함수로 나눈 꼴의 무한급수) 의 값을 계산하는 일반적인 방법에 대하여 알아보았다.

위 무한급수의 값을 조합론에서 등장하는 벨수(Bell number)와 푸비니수(Fubini number), 그리고 해석학에서의 감마함수(gamma function)와 연관지을 수 있는데 이를 하나씩 알아보도록 하자.

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다항함수/계승함수 형태의 무한급수와 벨수(Bell number)

일반적으로 $d$차 다항함수

\[ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_d x^d \]

가 주어졌을 때, 무한급수의 선형성을 이용하면

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!} = a_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} + a_1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} + a_2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!} + \cdots + a_d \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{n!} \]

를 얻는다. 따라서 $d+1$개의 무한급수의 값

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{n!}, \;\; \ldots, \;\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{n!} \tag*{$\textcolor{myblue}{(\ast)}$} \]

의 값을 알고 있다면 원래의 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!}$의 값을 구할 수 있다. 실제로 $\textcolor{myblue}{(\ast)}$의 값을 계산해 보면 모두 $e$의 상수배가 됨을 알 수 있고, 이 상수들만을 나열해 보면 다음의 수열

\[ 1,\, 1,\, 2,\, 5,\, 15,\, 52,\, 203,\, 877,\, 4140,\, \ldots \]

을 얻는다. OEIS A000100로 주어지는 이 수열은 벨수(Bell number) $B_d$라 불린다. 여기서 $B_d$는 $d$개의 원소로 이루어진 집합을 (공집합이 아닌 집합들로) 분할하는 모든 방법의 수로 정의된다.

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다항함수/지수함수 형태의 무한급수와 푸비니수(Fubini number)

마찬가지 방법으로 $p(x)$가 $d$차 다항함수이고 실수 $\abs{a} > 1$가 주어졌을 때, $d+1$개의 무한급수의 값

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a^{n+1}}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{a^{n+1}}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{a^{n+1}}, \;\; \ldots, \;\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{a^{n+1}} \tag*{$\textcolor{myblue}{(\ast\ast)}$} \]

의 값을 알고 있다면 선형성을 이용하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{a^{n+1}}$의 값 또한 구할 수 있다. 특히 $a = 2$일 때 식 $\textcolor{myblue}{(\ast\ast)}$의 값을 각각 구해보면 다음의 수열

\[ 1,\, 1,\, 3,\, 13,\, 75,\, 541,\, 4683,\, 47293,\, 545835,\, 7087261,\, \ldots \]

을 얻을 수 있는데, OEIS A000670, 이 수열은 푸비니수(Fubini number) 또는 순서벨수(ordered Bell number) $F_d$로 불린다. 여기서 $F_d$는 $d$개의 원소로 이루어진 집합을 (공집합이 아닌 집합들로) 분할하고 각 분할에 전순서(total order)를 부여하는 모든 방법의 수로 정의된다.

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다항함수/지수함수 형태의 무한급수와 감마함수(gamma function)

이번에는 $d = 0,\, 1,\, 2,\, \ldots$에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{e^n}$의 값을 차례대로 구해보자.

\[ \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{e^n} &= \frac{1}{1-\tfrac{1}{e}} \approx 1.581977\cdots \\[5px] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{e^n} &= e \left( \frac{1}{(e-1)^2} \right) \approx 0.920674\cdots \\[5px] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{e^n} &= e \left( \frac{1}{(e-1)^2} + \frac{2}{(e-1)^3} \right) \approx 1.992295\cdots \\[5px] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{e^n} &= e \left( \frac{1}{(e-1)^2} + \frac{6}{(e-1)^3} + \frac{6}{(e-1)^4} \right) \approx 6.006513\cdots \\[5px] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3}{e^n} &= e \left( \frac{1}{(e-1)^2} + \frac{14}{(e-1)^3} + \frac{36}{(e-1)^4} + \frac{24}{(e-1)^5} \right) \approx 24.003333\cdots \\[5px] \end{align*} \]

위 계산 결과를 잘 살펴보면 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{e^n}$의 값이 대략 $d!$이 됨을 알 수 있다. 이러한 계산 결과가 우연일까? 주어진 무한급수를 적분으로 근사하면 감마함수(gamma function)의 형태를 가지게 되는데, 감마함수가 계승(factorial)과 밀접한 연관이 있다는 사실을 떠올리면, 이러한 계산 결과가 나오는 이유를 짐작해 볼 수 있다. \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^d}{e^n} \approx \int_{0}^{\infty} x^d e^{-x} \,dx = \Gamma(d+1) = d! \]