임의의 실수 $x$에 대하여, 다음 부등식을 증명하여라. $\cos(\cos(x)) > \sin(\sin(x))$ $\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$ $ $
다음 부정적분을 구하여라. \[ I = \int \frac{x^n}{1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots + \tfrac{x^n}{n!}} \, dx \] $ $
양의 실수 $x > 0$에 대하여 함수 $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$를 정의하자. 이 때, 다음 극한을 구하여라. \[ \lim_{n \to \infty} \left[ f \left( \tfrac{1}{n} \right) f \left( \tfrac{2}{n}... Read more »
$n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 그 학교에는 $m$개의 동아리가 있는데, 모든 동아리는 각각 짝수명의 학생이 가입해 있고, 어떤 두 동아리를 택하더라도 그 두 동아리에 모두 가입한 학생수는 언제나 홀수 라... Read more »
$n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 그 학교에는 $m$개의 동아리가 있는데, 모든 동아리는 각각 홀수명의 학생이 가입해 있고, 어떤 두 동아리를 택하더라도 그 두 동아리에 모두 가입한 학생수는 언제나 짝수 라... Read more »
집합 $A$의 모든 원소들의 곱을 $P(A)$로 정의하자. 이제 집합 $S = \{1,\,2,\, \ldots,\, 2018\}$의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 각각 $S_1,\, \ldots,\, S_{2^{2018}-1}$이라 할 때, \[ \sum_{k=1}^{2^{2018}-1} \frac{1}{P(S_k)} \] 의 값을... Read more »
어떤 양의 정수 $n$이 $k$개의 정수의 제곱의 합으로 표현된다면, $n^2$ 또한 $k$개의 정수의 제곱의 합으로 표현됨을 증명하여라. 즉, $a_1,\, a_2,\, \ldots,\, a_k$가 존재하여 \[ n = a_1^2 + a_2^2 +... Read more »
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$1,\, 2,\, \ldots,\, 2018$을 다음 조건을 모두 만족하는 두 개의 그룹 $\{a_{1},\, \ldots,\, a_{1009}\}$와 $\{b_{1},\, \ldots,\, b_{1009}\}$로 분할한다. \[ a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{1009}, \qquad b_{1} > b_{2}... Read more »
임의의 두 양의 실수 $x,\,y$에 대하여 다음 부등식이 언제나 성립함을 보여라. \[ x^y + y^x > 1 \] $ $