참고.

1. 이 정의는 군 이론에서의 잉여류의 정의와 같다. 군 이론에서의 경우와 같이, 잉여류들은 환의 서로소인 부분집합을 이룬다.
2. 원소 $a$는 잉여류의 잉여류 대표원소(coset representative)라 한다. 각각의 잉여류들은 다양한 잉여류 대표원소를 가질 수 있다. 이 때, 두 원소 $a_1$와 $a_2$는, 주어진 아이디얼 $I$에 대하여 $a_1 - a_2 \in I$이면, $I$의 동일한 잉여류를 표현한다.
3. 아이디얼 $I$ 자체도 하나의 잉여류이다: $0 + I$.

증명. 먼저 위 연산들이 잘 정의되어 있는지 살펴보자. 즉, $a_1$과 $a_2$가 한 잉여류의 대표원소들이고 $b_1$과 $b_2$가 또 다른 잉여류의 대표원소들이라면, $a_1 + b_1$과 $a_2 + b_2$는 하나의 잉여류를 대표해야 하고 마찬가지로 $a_1b_1$과 $a_2b_2$ 또한 하나의 잉여류를 대표해야 한다. 이제 $a_1 - a_2 \in I$이고 $b_1 - b_2 \in I$이므로 이 둘을 더해주면 아이디얼의 성질에 의해 $(a_1 + b_1) - (a_2 + b_2) \in I$를 얻는다. 즉, $a_1 + b_1$과 $a_2 + b_2$는 같은 잉여류를 대표한다. 마찬가지로 곱에 대하여, $a_1b_1 - a_2b_2 = (a_1 - a_2)b_1 + a_2(b_1 - b_2)$를 얻을 수 있고 아이디얼의 성질에 의해 우변이 $I$에 원소이므로 $a_1b_1$과 $a_2b_2$ 또한 같은 아이디얼을 대표함을 알 수 있다. 일단 위 연산들이 잘 정의되었음을 알고 나면, 환의 공리를 만족함을 보이는 것은 간단하다..

참고.

몫환(quotient ring)의 영원(zero)은 원소 $0 + I$ (즉, 아이디얼 $I$그 자체)이다.

몫환 $R/I$를 이해하는 방법 중 하나는 아이디얼 $I$의 모든 원소들을 영원으로 보는 것이다.

예제 6.3

1. $I = n\Z \subseteq \Z$라 하자. 그러면 몫환 $\Z/n\Z$는 $n$개의 원소를 갖는다: $I,\, 1 + I,\, 2 + I,\, \ldots,\, (n - 1) + I$. 또한 이는 $\Z_n$와 동형이다.
2. $I$를 $x^2 + 1$에 의해 생성된 환 $\R[x]$의 아이디얼이라 하자. 그러면 잉여류 대표원소는 모두 $a + bx$의 형태를 가졌다고 가정할 수 있다: 예를 들어 잉여류 대표원소로 $x^3$를 가져오면, $x^3 = -x + (x^2 + 1)x$와 같이 나타낼 수 있으므로 $-x$가 해당 잉여류를 대표한다고 하면 되기 때문이다. 아이디얼의 원소를 영원으로 볼 수 있기 때문에, $x^2 + 1 = 0$이라 하면, $x^2 = -1$을 이용하여 모든 고차항들을 상쇄할 수 있다. 따라서 우리는 $R/I$를 $a + bx$ 형태의 원소들에 규칙 $x^2 = -1$을 이용하여 덧셈과 곱셈을 수행하는 환으로 생각할 수 있다. 이제 부정원 $x$를 $i$로 바꾸어 생각하면 이 환은 복소수의 집합과 같음을 알 수 있다: $\R[x]/\langle x2+ 1 \rangle \cong \C$.
3. 위와 유사한 방법을 이용하면, 우리가 이전에 구성했던 갈루아체 $GF(9)$는 사실 몫환 $\Z_3[x]/\langle x2 + 1 \rangle$와 동형임을 보일 수 있다.
4. 몫환 $\Z_5[x]/\langle x2 + 1 \rangle$은 모든 잉여류 대표원소들이 $a, b \in \Z_5$에 대하여 $a + bx$의 형태를 가져야 하기 때문에 $25$개의 원소를 갖는다. 하지만, 이는 체가 되지 않는데, 두 잉여류 $(x + 3) + I$와 $(x + 2) + I$의 곱이 $(x + 3)(x + 2) + I = 0 + I$가 되기 때문이다. 따라서 이 환은 영인자를 가지고 따라서 체가 될 수 없다. 이러한 일이 발생하는 이유는 다항식 $x^2 + 1$이 $Z_5[x]$에서 더 작은 차수(degree)의 다항식들로 인수분해가 되기 때문이다: $x^2 + 1 = (x+2)(x+3)$.

이전 절에서 환준동형사상 $f : R \to S$의 핵(kernel)은 $R$의 아이디얼이 되고 상(image)은 $S$의 부분환이 됨을 살펴 보았다. 이제 이 둘을 아우르는 아래의 정리를 살펴보자.

증명. 사상 $\theta : R/\ker(f) \to \operatorname{im}(f)$를 $\theta(a + \ker(f)) = f(a)$와 같이 정의하자. 이제 이 사상 $\theta$이  전단사(bijection)이고 $\theta$에 대하여 덧셈과 곱셈이 보존됨을 보이면 된다..

참고.

1. 따라서 몫환을 잉여류와 관련지어 덧셈과 곱셈을 수행하는게 아니라 단순히 준동형상(homomorphic image)으로 간주해서 생각할 수 있다.
2. 위 정리에 의해 모든 아이디얼은 ($R$에서 $R/I$로 가는) 적당한 준동형사상에 대한 핵임을 알 수 있다.

위 정리는 환에 대한 제1동형정리로도 불린다. 이제 나머지 두 동형정리에 대해 알아보자.

증명. $I + J$와 $I \cap J$가 아이디얼임은 간단히 보일 수 있다. 나머지 정리의 증명을 위해, 사상 $\theta : I \to (I + J)/J$를 $i \mapsto i + J$로 정의하자. $(I + J)/J$의 잉여류 대표원소들은 모두 $i + J$의 형태를 가지고 있기 때문에, $\theta$은 전사(onto)이다. 이제 $i$가 $\ker(\theta)$의 원소라 하면, $i + J = J$이고 따라서 $i \in J$를 얻는다. 그러므로 $i \in I \cap J$이고 따라서 $\ker(\theta) = I \cap J$임을 알 수 있다. 이제 제1동형사상 정리에 의해 $(I + J)/J$와 $I/(I \cap J)$는 서로 동형이다..

참고.

1. 사실 $I$, $J$가 $R$의 부분환들이고 이 둘중 하나만 아이디얼이어도 정리가 여전히 성립한다.
2. 아래에 이 정리를 그림으로 표현해 놓았다. 그림에서 두겹으로 그려진 선은 두 개의 몫환을 나타낸다.

예제.

$I = \langle m \rangle$와 $J = \langle n \rangle$가 환 $\Z$의 두 아이디얼이라 하자. 그러면 $I + J = \langle \gcd(m,\, n) \rangle$와 $I \cap J = \langle \operatorname{lcm}(m,\, n) \rangle$를 얻는다. 그러면 제2동형정리에 의하여 $\langle \gcd(m,\, n) \rangle / \langle n \rangle \cong \langle n \rangle / \langle \operatorname{lcm}(m,\, n) \rangle$임을 알 수 있고 따라서 $n/\gcd(m,\, n) = \operatorname{lcm}(m,\, n)/m$를 얻고 따라서 $\gcd(m,\, n) \times \operatorname{lcm}(m,\, n) = mn$를 얻을 수 있다.

증명. 우선 $J/I$가 $R/I$의 아이디얼임을 보이는 것은 간단하다. 이제 사상 $\theta : R/I \to R/J$을 $I$의 임의의 잉여류 $a + I$에 대하여 $a + I \mapsto a + J$로 정의하자. 이 사상은 자명하게 전사(onto)이다. 이제 원소 $a + I$는 $a + I = J$가 성립할 때에 $\theta$의 핵의 원소가 되는데, 이는 ($I \subseteq J$이기 때문에) $a \in J$인 경우에만 성립하게 된다. 그러므로 $\ker(\theta) = J/I \subseteq R/I$임을 알 수 있고 증명의 나머지는 환에 대한 제1동형정리에 의해 성립한다..