다음 값을 구하여라. $\tan(20^{\circ}) \tan(40^{\circ}) \tan(80^{\circ})$. $\tan(20^{\circ}) - \tan(40^{\circ}) + \tan(80^{\circ})$. $\tan^2(20^{\circ}) + \tan(40^{\circ})^2 + \tan^2(80^{\circ})$. $ $
함수 $f : [0,\, 1] \to [0,\, 1]$에 대하여, 다음 명제를 증명하거나 또는 반증하여라. $f$가 단조증가(monotonically increasing)이면, $f(x) = x$를 만족하는 $x \in [0,\, 1]$가 존재한다. $f$가 단조감소(monotonically decreasing)이면, $f(x)... Read more »
모든 $1 \leq i \leq n$에 대하여 $x_i \geq -1$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^3 = 0$이면, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \leq \frac{n}{3}$이 성립함을 보여라. $ $
$a + b + c = 0$을 만족하는 정수 $a,\, b,\, c$에 대하여, 다음 표현 \[ \frac{a^4 + b^4 + c^4}{2} \] 는 언제나 완전제곱수(perfect number)임을 증명하여라. $ $
방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »
실수 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1000}$의 소수점 아래 $100$번째 자릿수를 구하여라. $ $
$n \times n$ 가역행렬(invertible matrix) $A$가 실수인 고유값만을 갖고, 다음 조건 \[ \tr(A^2) = \tr(A^3) = \tr(A^4) \] 을 만족한다고 한다. 이때 $\tr(A)$의 값을 구하여라. $ $
중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 존재하는 유리수점의 개수는 많아야 하나임을 증명하여라. (여기서 유리수점이란 그 점의 $x$, $y$ 성분이 모두 유리수인 점을 뜻한다.) $ $
다음 정적분을 계산하여라. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} \,dx \] 여기서 $\phi$는 황금비(golden ratio), 즉, 방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 양수인 해이다. $ $
임의의 실수 $x$에 대하여, 다음 부등식을 증명하여라. $\cos(\cos(x)) > \sin(\sin(x))$ $\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$ $ $