Problems and Solutions: ★★★☆☆

Problems and Solutions #091

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다음 값을 구하여라. $\tan(20^{\circ}) \tan(40^{\circ}) \tan(80^{\circ})$. $\tan(20^{\circ}) - \tan(40^{\circ}) + \tan(80^{\circ})$. $\tan^2(20^{\circ}) + \tan(40^{\circ})^2 + \tan^2(80^{\circ})$. $ $

Problems and Solutions #088

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모든 $1 \leq i \leq n$에 대하여 $x_i \geq -1$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^3 = 0$이면, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \leq \frac{n}{3}$이 성립함을 보여라. $ $

Problems and Solutions #084

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방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »

Problems and Solutions #075

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중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 존재하는 유리수점의 개수는 많아야 하나임을 증명하여라. (여기서 유리수점이란 그 점의 $x$, $y$ 성분이 모두 유리수인 점을 뜻한다.) $ $

Problems and Solutions #072

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다음 정적분을 계산하여라. \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{\phi})^{\phi}} \,dx \] 여기서 $\phi$는 황금비(golden ratio), 즉, 방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 양수인 해이다. $ $

Problems and Solutions #071

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임의의 실수 $x$에 대하여, 다음 부등식을 증명하여라. $\cos(\cos(x)) > \sin(\sin(x))$ $\cos(\sin(x)) > \sin(\cos(x))$ $ $