위상공간 $(X, \mathcal{T})$의 한 부분집합 $A \subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그러면 $A$에 적용할 수 있는 집합 연산은 내부(interior) 연산 $I(A) = \operatorname{int}(A) = A^{\circ}$, 폐포(closure) 연산 $K(A) = \operatorname{cl}(A) =... Read more »
$\newcommand{\Int}{\operatorname{int}} \newcommand{\Cl}{\operatorname{cl}}$위상공간 $(X,\, \mathcal{T})$에서 정의된 집합 $A \subset X$에 대하여, $\Int(A)$와 $\Cl(A)$를 각각 $A$의 내부(interior)와 폐포(closure)라 하자. $ $ 정의 1. 일반화된 열린집합 위상공간 $(X,\, \mathcal{T})$에서 정의된 집합 $A \subset... Read more »
$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}$코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)은 임의의 내적공간에서 성립하는 다음의 부등식이다. 임의의 $\bfx, \bfy \in V$에 대하여 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 \leq \norm{\vphantom{y}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2. \] 특히 $V = \C^n$인 경우 (일반적으로 $V$가 유한차원인 경우),... Read more »
티투의 보조정리(Titu's lemma)는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 활용하여 여러 분수 형태의 합을 간결하게 비교할 수 있게 해 주는 유용한 부등식이다. $ $ 정리. 티투의 보조정리(Titu's lemma) 양의 실수 $a_1, a_2, \ldots,... Read more »
스털링 근사식(Stirling’s approximation)이란 충분히 큰 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 계승(factorial) $n!$를 근사적으로 구하는 방법이다. 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 함수 $s(n) = \sqrt{2 \pi n} \Big( \dfrac{n}{e}... Read more »
$\DeclareMathOperator{\rem}{rem}$배수 판정법(divisibility rule)은 주어진 정수 $N$이 또 다른 정수 $m$ 배수인지의 여부를 간단히 확인하는 일련의 절차를 말한다. 일반적으로 배수 판정법은 정수론의 다양한 결과를 이용함으로써 $N$보다 훨씬 작은 수가 $m$의 배수인지를... Read more »
$\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}$이번 포스트에서는 자연수 집합 위에 자연수의 소인수분해와 밀접한 관련이 있는 거리(distance)을 정의해 볼 것이다. 우선 실수 집합 위에서 정의된 유클리드 거리(Euclidean distance)를 이용하여 두 자연수 $12$과 $13$ 사이의 거리를 구해보면,... Read more »
이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자. $ $ 정의 1. 이중선형형식... Read more »
두 함수 $\sin(x)$와 $\sin(2x)$를 생각해 보자. 이 두 함수는 각각 주기가 $2\pi$와 $\pi$인 주기함수이고, 두 함수의 합인 $\sin(x) + \sin(2x)$ 또한 (주기가 $2\pi$인) 주기함수이다. 아래 그래프를 참고 하도록 하자. $... Read more »
피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »