Category: Mathematics

7의 배수 판정법(divisibility rule) 총정리

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$\DeclareMathOperator{\rem}{rem}\newcommand\mycancel[1]{\mypink{\cancel{\myblack{#1}}}}$배수 판정법(divisibility rule)은 주어진 정수 $N$이 또 다른 정수 $m$ 배수인지의 여부를 간단히 확인하는 일련의 절차를 말한다. 일반적으로 배수 판정법은 정수론의 다양한 결과를 이용함으로써 $N$보다 훨씬 작은 수가 $m$의 배수인지를... Read more »

자연수 위에서 정의된 산술거리(arithmetic distance)

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$\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}$이번 포스트에서는 자연수 집합 위에 자연수의 소인수분해와 밀접한 관련이 있는 거리(distance)을 정의해 볼 것이다. 우선 실수 집합 위에서 정의된 유클리드 거리(Euclidean distance)를 이용하여 두 자연수 $12$과 $13$ 사이의 거리를 구해보면,... Read more »

대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)에서 성립하는 동치 관계들

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이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자. $ $ 정의 1. 이중선형형식... Read more »

두 주기함수(periodic function)의 합이 주기함수가 될 필요충분조건

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두 함수 $\sin(x)$와 $\sin(2x)$를 생각해 보자. 이 두 함수는 각각 주기가 $2\pi$와 $\pi$인 주기함수이고, 두 함수의 합인 $\sin(x) + \sin(2x)$ 또한 (주기가 $2\pi$인) 주기함수이다. 아래 그래프를 참고 하도록 하자. $... Read more »

피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

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피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »

응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산

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주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다.... Read more »

세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

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임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, $1$부터 $k$ 까지의 모든 정수를 각각 세제곱하여 더한 것은, 이 정수들을 모두 더한 뒤 제곱을 한 것과 같다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를... Read more »

오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

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주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식 \[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

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산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p'... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

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미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의... Read more »