Category: Mathematics

피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

      Comments Off on 피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »

응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산

      Comments Off on 응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산

주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다.... Read more »

세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

      Comments Off on 세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, $1$부터 $k$ 까지의 모든 정수를 각각 세제곱하여 더한 것은, 이 정수들을 모두 더한 뒤 제곱을 한 것과 같다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를... Read more »

오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

      Comments Off on 오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식 \[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

      Comments Off on 산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p'... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

      Comments Off on 산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의... Read more »

무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)

      Comments Off on 무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)

짝수와 짝수의 합은 언제나 짝수이고 짝수와 홀수의 합은 언제나 홀수이다. 이와 비슷하게, 유리수와 유리수의 합은 언제나 유리수이지만 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수가 된다. 따라서 '짝수와 유리수가 무언가 유사한 수학적 구조를... Read more »

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 2

      Comments Off on 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 2

이번 글에서는 저번 글 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1 에서 증명한 피보나치/루카스 수열과 삼각함수와의 관계를 다시 한 번 정리하면 다음과 같다: 임의의 음이 아닌 정수 $n \in... Read more »

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

      Comments Off on 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을... Read more »

평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형

      Comments Off on 평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형

평균값 정리(mean value theorem)는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과... Read more »