다음 값을 구하여라. $\tan(20^{\circ}) \tan(40^{\circ}) \tan(80^{\circ})$. $\tan(20^{\circ}) - \tan(40^{\circ}) + \tan(80^{\circ})$. $\tan^2(20^{\circ}) + \tan(40^{\circ})^2 + \tan^2(80^{\circ})$. $ $
다음 식 $(p-2)^{p-2} - (p-3)^{p-3}$을 나누는 소수 $p > 3$을 모두 찾아라. $ $
함수 $f : [0,\, 1] \to [0,\, 1]$에 대하여, 다음 명제를 증명하거나 또는 반증하여라. $f$가 단조증가(monotonically increasing)이면, $f(x) = x$를 만족하는 $x \in [0,\, 1]$가 존재한다. $f$가 단조감소(monotonically decreasing)이면, $f(x)... Read more »
모든 $1 \leq i \leq n$에 대하여 $x_i \geq -1$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^3 = 0$이면, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i \leq \frac{n}{3}$이 성립함을 보여라. $ $
$a + b + c = 0$을 만족하는 정수 $a,\, b,\, c$에 대하여, 다음 표현 \[ \frac{a^4 + b^4 + c^4}{2} \] 는 언제나 완전제곱수(perfect number)임을 증명하여라. $ $
양의 정수 $n$에 대하여 정의된 다음 수열 $a_n = \sqrt{24n+1}$은 ($2$와 $3$을 제외한) $5$ 이상의 모든 소수들의 수열을 부분수열로 가짐을 증명하여라. $ $
양의 정수 $a,\, b$에 대하여 $G(a,\, b)$와 $L(a,\, b)$를 각각 $a$와 $b$의 최대공약수와 최소공배수로 정의하자. 이 때, 다음 식 \[ a + b = L(a,\, b) - G(a,\, b) \tag*{$\myblue{(\ast)}$}... Read more »
방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »
두 양항수열(positive sequence) $(a_n)_{n=1}^{\infty}$과 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치임을 증명하여라. 두 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{c_n}$과 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{b_n}$가 모두 수렴하게 하는 양항수열 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재한다. 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{b_n}}$가... Read more »
주어진 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 모든 (양의) 약수의 합이 $2n$과 같아질 때, 그러한 $n$을 완전수(perfect number)라 한다. 완전수의 예로는 $6,\, 28,\, 496,\, 8128,\, \ldots$등이 있다. 한 편,... Read more »