Problems and Solutions

Problems and Solutions #084

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방정식 $x^3 = 1$의 세 근을 각각 $1,\, w,\, \bar{w}$라 하자. 이 때, 임의의 음이 아닌 정수 $n \geq 0$에 대하여 \[ 2^n + (-w)^n + (-\bar{w})^n \] 은 모두... Read more »

Problems and Solutions #083

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두 양항수열(positive sequence) $(a_n)_{n=1}^{\infty}$과 $(b_n)_{n=1}^{\infty}$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치임을 증명하여라. 두 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{c_n}$과 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{b_n}$가 모두 수렴하게 하는 양항수열 $(c_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재한다. 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{a_n}{b_n}}$가... Read more »

Problems and Solutions #082

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주어진 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $n$의 모든 (양의) 약수의 합이 $2n$과 같아질 때, 그러한 $n$을 완전수(perfect number)라 한다. 완전수의 예로는 $6,\, 28,\, 496,\, 8128,\, \ldots$등이 있다. 한 편,... Read more »

Problems and Solutions #080

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다음 네 조건을 모두 만족하는 실함수 $f: \R \to \R$을 구성하여라. $f$는 연속(continuous)이다. $f$는 전사함수(surjection)이지만 단사함수(injection)는 아니다. 임의의 유리수 $r \in \Q$에 대하여, $f(r) \in \Q$이다. 함수 $g : \Q... Read more »

Problems and Solutions #077

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임의의 양의 정수 $n \in \N$에 대하여, $mn$의 (10진법으로 전개했을 때의) 자릿수가 모두 $0$ 아니면 $7$이 되게끔 하는 적당한 양의 정수 $m \in \N$이 언제나 존재함을 증명하여라. 예를 들어 $n... Read more »

Problems and Solutions #075

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중심이 $(\sqrt{20},\, \sqrt{19})$인 원 위에 존재하는 유리수점의 개수는 많아야 하나임을 증명하여라. (여기서 유리수점이란 그 점의 $x$, $y$ 성분이 모두 유리수인 점을 뜻한다.) $ $