2. 볼록함수(convex function)

Table of Contents

  1. 볼록집합과 볼록함수
    1. 볼록집합(convex set)
    2. 볼록함수(convex function)
    3. 거리함수(distance function)
  2. 초평면 분할 정리(hyperplane separation theorem)
    1. 볼록분할(convex separation)
    2. 볼록집합에 대한 수직원뿔(normal cone)
  3. 하방미분(subdifferential)
    1. 볼록함수의 하방미분(subdifferential)
    2. 하방미분에 대한 미분규칙
    3. 볼록함수의 연속성(continuity)
    4. 펜첼 켤레(Fenchel conjugate)
    5. 볼록함수의 방향도함수(directional derivative)
    6. 하방미분을 통한 미분가능성(differentiability)
    7. 하반연속(lower semicontinuity)과 최솟값의 존재성
    8. 라그랑주 곱셈자(Lagrange multiplier)

볼록함수(convex function)

다음과 같이 확장된 실수(extended reals) $\bar{\R} = (-\infty,\, \infty]$를 정의하자. 단, $\infty$는 다음 규칙을 따른다고 약속하자.

  • 임의의 실수 $a \in \R$에 대하여, $a + \infty = \infty$.
  • 임의의 양의 실수 $a > 0$에 대하여, $a \times \infty$.
  • $0 \times \infty = \infty$.

단, 위 규칙에 포함되지 않는 $\infty$를 포함한 연산은 정의되지 않는다.

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정의 2.1 볼록함수(convex function)

$\R^{n}$의 볼록부분집합 $C$에 대하여, $f : C \to \bar{\R}$이 확장된 실함수(extended real-valued function)라 하자. 이 때, 다음 부등식 \[ f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) \] 가 임의의 $x,\, y \in C$와 실수 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 성립할 때, $f$를 (집합 $C$ 위에서 정의된) 볼록함수(convex function)라 한다.

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