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참고. 주어진 $x,\, y \in \R^{n}$에 대하여, $x$와 $y$를 잇는 선분_{(line segment)} $[x,\, y]$는 다음과 같이 정의되는 집합이다. \[ [x,\, y] = \set{\lambda x + (1 - \lambda) y}{\lambda \in [0,\, 1]}. \] 그러면 볼록집합의 정의에 따라 $C \subseteq \R^{n}$이 볼록집합인 것은 임의의 $x,\, y \in C$에 대하여 $[x,\, y] \subseteq C$인 것과 동치임을 간단히 확인할 수 있다.$ $

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증명. 두 점 $(x_1,\, x_2),\, (y_1,\, y_2) \in C \times D$과 실수 $\lambda \in [0,\, 1]$이 주어졌다고 하자. 그러면 $x_1,\, x_2 \in C$, $y_1,\, y_2 \in D$가 성립하고, $C$와 $D$가 각각 볼록집합이므로, \[ \lambda (x_1,\, x_2) + (1 - \lambda) (y_1,\, y_2) = \Big( \lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2,\, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2 \Big) \in C \times D \] 가 성립한다. 따라서 성의에 의해 $C \times D$는 $\R^{n} \times \R^{m}$의 볼록부분집합임을 알 수 있다.$ $

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증명. 먼저 (1)을 증명하기 위해 $x,\, y \in A(C)$와 $\lambda \in [0,\, 1]$을 택하자. 그러면 $A(x) = a$, $A(y) = b$를 만족하는 $x,\, y \in C$가 존재한다. 그러면 위 보조정리에 의해 \[ \lambda a + (1 - \lambda) b = \lambda A(x) + (1 - \lambda) A(y) = A \Big( \lambda x + (1 - \lambda) y \Big). \] 이제 $x,\, y \in C$이고 $C$가 볼록집합이므로, $\lambda x + (1 - \lambda) y \in C$가 성립하고, 따라서 $\lambda a + (1 - \lambda) b \in A(C)$임을 알 수 있다. 따라서 $A(C)$는 볼록집합이다. (2)의 증명은 (1)의 증명과 유사하므로 생략하도록 하자.$ $

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두 집합 $C,\, D \subseteq \R^n$과 실수 $\lambda \in \R$에 대하여 다음을 정의하자. \[ \begin{align*} \lambda C &= \set{\lambda x}{x \in C}, \\[5px] C + D &= \set{x + y}{x \in C,\, y \in D}. \end{align*} \]

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증명. 아핀변환 $A_1 : \R^n \to \R^n$을 임의의 $x \in \R^n$에 대하여 $A_1(x) = \lambda x$와 같이 정의하자. 그러면 $A_1(C) = \lambda C$이므로 정리 1.3에 의해 $\lambda C$는 볼록집합이다. 이와 유사하게 이번에는 아핀변환 $A_2 : \R^n \times \R^n \to \R^n$을 임의의 $(x,\, y) \in \R^n \times \R^n$에 대하여 $A_2(x,\, y) = x + y$로 정의하자. 그러면 정리 1.2에 의해 $C \times D$는 ($\R^n \times \R^n$에서 정의된) 볼록집합이고, $A_2(C \times D) = C + D$가 성립하므로, 다시 한 번 정리 1.3에 의해 $C + D$가 볼록집합임을 알 수 있다.$ $

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증명. 두 원소 $x,\, y \in \bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha}$와 실수 $\lambda \in [0,\,1]$를 택하자. 그러면 모든 $\alpha \in I$에 대하여 $x,\, y \in C_{\alpha}$고 $C_{\alpha}$는 볼록집합이므로, $\lambda x + (1 - \lambda) y \in C_{\alpha}$가 성립한다. 따라서 $\lambda x + (1 - \lambda) y \in \bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha}$를 얻을 수 있고, 이로부터 $\{C_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$의 교집합은 언제나 볼록집합이라는 결론을 얻는다.$ $

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따라서 정의에 의해 볼록결합은 선형결합(linear combination)에서 $\lambda_i \geq 0$이고 $1 = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i$인 특수한 경우임을 알 수 있다.

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증명. $C$의 임의의 원소들의 볼록결합이 다시 $C$의 원소가 되는 경우 $C$가 볼록집합이 됨은 자명하므로, 반대방향을 증명하도록 하자. 즉, $C$가 볼록집합임을 가정하고 임의의 양의 정수 $m$에 대하여, $C$의 $m$개의 원소들의 볼록결합이 다시 $C$의 원소가 됨을 보일 것이다. 증명은 $m$에 대한 수학적귀납법을 이용할 것이다. 먼저 $m = 1,\, 2$인 경우, $C$가 볼록집합이라는 가정으로부터 주어진 명제가 성립한다. 이제 $C$의 임의의 $m$개의 원소들의 볼록결합이 다시 $C$의 원소가 된다고 가정하고, 다음과 같이 $C$의 $m+1$개의 원소의 볼록결합을 생각해 보자. \[ x = \sum_{i=1}^{m+1} \lambda_i x_i, \quad 1 = \sum_{i=1}^{m+1} \lambda_i. \] 만약 $\lambda_{m+1} = 1$이라면, $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_m = 0$이어야만 하므로, $x = \lambda_{m+1} x_{m+1} = x_{m+1} \in C$가 되어 주어진 명제가 성립한다. 한 편, $\lambda_{m+1} < 0$인 경우, $i = 1,\, 2,\, \ldots,\, m$에 대하여 $\mu_i = \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_{m+1}}$를 정의하자. 그러면 모든 $i$에 대하여 $\mu_i \geq 0$이고, \[ \sum_{i=1}^{m} \mu_i = \frac{1}{1 - \lambda_{m+1}} \sum_{i=1}^{m} \lambda_i = \frac{1}{1 - \lambda_{m+1}} (1 - \lambda_{m+1}) = 1 \] 이 성립한다. 즉, 원소 $y = \sum_{i=1}^{m} \mu_i x_i$는 $C$의 $m$개의 원소들의 볼록결합이므로 $y \in C$임을 알 수 있다. 그러므로 \[ \begin{align*} x = \sum_{i=1}^{m+1} \lambda_i x_i &= \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i + \lambda_{m+1} x_{m+1} \\[5px] &= (1 - \lambda_{m+1}) \sum_{i=1}^{m} \mu_i x_i + \lambda_{m+1} x_{m+1} \\[5px] &= (1 - \lambda_{m+1}) y + \lambda_{m+1} x_{m+1} \in C \end{align*} \] 가 되어 $m+1$일 때도 주어진 명제가 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 $C$가 볼록집합인 경우, $C$의 임의의 원소들의 볼록결합이 다시 $C$의 원소가 됨을 알 수 있다.$ $

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즉, $\text{conv}(S)$는 $S$를 포함하는 $\R^n$의 볼록집합 중 가장 작은 볼록집합을 의미한다. (여기서 임의의 볼록집합들의 교집합이 다시 볼록집합이 됨은 정리 1.5에서 확인하였다.) 다음 정리는 임의의 집합 $S \subseteq \R^n$에 대하여 $\text{conv}(S)$는 $S$의 임의의 원소들의 볼록결합들을 모두 모아놓은 집합과 같음을 보여준다.

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증명. 위 등식의 오른쪽 집합을 $C$라 하자. 그러면 $C$의 정의에 의해 $S \subseteq C$가 성립한다. 이제 $C$가 볼록집합임을 증명해 보자. 이를 위해 임의의 두 원소 $x,\, y \in C$와 실수 $\xi \in [0,\, 1]$를 택하자. 우선 $C$의 정의에 의해 $x,\, y$를 다음과 같이 \[ x = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i, \quad y = \sum_{j=1}^{k} \mu_j y_j, \] $x_i,\, y_j \in S$, $\lambda_i,\, \mu_j \geq 0$, $\sum_{i=1}^{m} \lambda_i = \sum_{j=1}^{k} \mu_j = 1$로 나타낼 수 있다. 그러면 \[ \xi x + (1 - \xi) y = \xi \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i + (1 - \xi) \sum_{j=1}^{k} \mu_j y_j = \sum_{i=1}^{m} \xi \lambda_i x_i + \sum_{j=1}^{k} (1 - \xi) \mu_j y_j \] 를 얻는다. 또한 \[ \sum_{i=1}^{m} \xi \lambda_i + \sum_{j=1}^{k} (1 - \xi) \mu_j = \xi \sum_{i=1}^{m} \lambda_i + (1 - \xi) \sum_{j=1}^{k} \mu_j = \xi + (1 - \xi) = 1 \] 이 성립하므로, $\xi x + (1 - \xi) y \in C$임을 알 수 있다. 따라서 $C$는 ($S$를 포함하는) 볼록집합이고, $\text{conv}(S) \subseteq C$가 성립한다. 한 편, 반대 방향의 포함관계를 보이기 위해 임의의 $x = \sum_{i=1}^{m} \lambda_i x_i \in C$, $x_i \in S$, $\lambda_i \geq 0$, $\sum_{i=1}^{m} \lambda_i = 1$을 택하자. 그러면 $x_i \in S \subseteq \text{conv}(S)$가 성립하므로 $x$는 $\text{conv}(S)$의 원소들의 볼록결합으로 표현되었다고 생각할 수 있다. 이제 $\text{conv}(S)$가 볼록집합이므로, 정리 1.7에 의해 $x \in \text{conv}(S)$가 성립한다. 따라서 $C \subseteq \text{conv}(S)$이고, 동시에 $\text{conv}(S) \subseteq C$이므로, $\text{conv}(S) = C$가 성립한다.$ $

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