예제. 두 정수 $-4$와 $8$의 최대공약수를 구해보자. 조건 (c)에 의해서 $-4$와 $8$의 음이 아닌 약수들만 고려해도 충분하다. $-4$의 음이 아닌 약수들은 $1,\,2,\,4$이고, $8$의 음이 아닌 약수들은 $1,\,2,\,4,\,8$이므로, 조건 (a)를 만족하는 $-4$와 $8$의 공약수(common divisor)들은 $2$와 $4$가 있다. 여기서 $2 \mid 4$이므로 조건 (b)에 의해 $\gcd(-4,\,8) = 4$임을 알 수 있다.
예제. 임의의 정수 $n \in \Z$에 대하여, $\gcd(0,n) = \abs{n}$이다. 특히, $\gcd(0,\,0) = 0$이 성립한다. '최대'공약수라는 단어의 의미를 공약수 중 가장 큰 정수 오해하여 $\gcd(0,\,0) = \infty$이거나 존재하지 않을 것이라 생각하기 쉽지만 이는 오해이다. 여기서의 '최대'공약수의 의미는 공약수 중 다른 모든 공약수들을 약수로 갖는 수를 말한다.
다음 설명할 정리는 두 정수 $a$와 $b$의 최대공약수를 언제나 $a$와 $b$의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 보여준다.
증명.
최대공약수의 성질
두 정수 $a,\,b \in \Z$에 대하여, $\gcd(a,\,b) = 1$인 경우, $a$와 $b$가 서로소(coprime, relatively prime)라 한다. $a,\, b$가 서로소인 경우, 위 정리에 의해 적당한 정수 $x,\,y \in \Z$를 이용하여 $ax + by = 1$로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.