1.1. 실수 체계(real number system) Table of Contents 실수 체계(real number system) 실수 체계(real number system) 실수의 완비성(completeness) 실수의 비가산성(uncountability) 수열(sequence)의 극한(limit) 수열(sequence)의 극한(limit) 부분수열(subsequence) 코시수열(Cauchy sequence) 급수(series) 급수(series) 수렴 판정법 멱급수(power series) 함수(function)와 연속성(continuity) 함수의 극한 실수의 완비성(completeness) 실수의 비가산성(uncountability) 미분(differentiation) 미분계수와 도함수(derivative) 실수의 완비성(completeness) 실수의 비가산성(uncountability) 리만 적분(Riemann integration) 리만 적분(Riemann integration) 리만 적분의 성질 실수의 비가산성(uncountability) 균등 연속(uniform continuous) 실수 체계(real number system) 실수의 완비성(completeness) 실수의 비가산성(uncountability) 실수 전체의 집합을 $\R$이라 하자. 그러면 $\R$은 다음의 체공리(field axiom)와 순서공리(order axiom)를 만족한다. 공리. 체공리(field axiom) $\R$ 위에서 정의된 덧셈연산 $+$과 곱셈연산 $\times$에 대하여 다음이 성립한다. [A1] 임의의 $a,\,b \in \R$에 대하여, $a+b \in \R$. [A2] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a+(b+c) = (a+b)+c$. [A3] $0 \in \R$이 존재하여, 임의의 $a \in \R$에 대하여 $a+0 =a$ [A4] 각각의 $a \in \R$에 대하여, $-a \in \R$이 존재하여 $a + (-a) = 0$. [A5] 임의의 $a,\,b \in \R$에 대하여, $a+b = b+a$. [M1] 임의의 $a,\,b \in \R$에 대하여, $a \times b \in \R$. [M2] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$. [M3] $1 \in \R$이 존재하여, 임의의 $a \in \R$에 대하여 $a \times 1 =a$ [M4] $0$이 아닌 각각의 $a \in \R$에 대하여, $a^{-1} \in \R$이 존재하여 $a \times a^{-1} = 1$. [M5] 임의의 $a,\,b \in \R$에 대하여, $a \times b = b \times a$. [D] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$. 참고. 체공리에 의해서 $\R$에서 사칙연산을 자유롭게 수행할 수 있다. 공리. 순서공리(order axiom) $\R$ 위에서 정의된 덧셈연산 $+$과 곱셈연산 $\times$에 대하여 다음이 성립한다. [O1] 임의의 $a,\,b \in \R$에 대하여, $a<b$, $a=b$, $a>b$ 중 단 하나만이 성립한다. [O2] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a>b$이고 $b>c$이면 $a>c$이다. [O3] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a>b$이면 $a+c>b+c$이다. [O4] 임의의 $a,\,b,\,c \in \R$에 대하여, $a>b$이고 $c>0$이면 $a \times c > b \times c$이다. 참고. 체공리에 의해서 $\R$에서 사칙연산을 자유롭게 수행할 수 있다.