수열(sequence)이란 수학적 대상들의 순서있는 나열이다. 수열은 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 일반적으로 수열을 $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, \ldots)$ 또는 간단히 $(a_n)$으로 나타내며, 여기서 $a_n$은 주어진 수열의 $n$번째 항을 나타낸다. 일반적으로 수열의 각 항은 어떤 수학적 대상이든지 상관이 없지만, 여기서는 오직 실수열(real sequence)만을 생각하기로 한다. 여기서 실수열이란, 수열의 각 항 $a_n$이 실수인 수열을 말한다.

 

정의. 수열의 극한(limit)

수열 $(a_n)$과 실수 $L$이 주어졌다고 하자. 이제 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $\abs{a_n-L} < \epsilon$이 성립하면, 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴(converge)한다고 한고 하고, $L$을 수열 $(a_n)$의 극한(limit)이라 부른다.

 

수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴하는 경우를 다음과 같은 기호로 나타낸다. \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \qquad \text{or} \qquad a_n \to L \;\ \text{as} \;\; n \to \infty \]

 

예제. 수열 $(\frac{1}{n})$이 $0$으로 수렴함을 증명해 보자: 주어진 $\epsilon>0$에 대하여,

\[ \abs{a_n-L} = \abs{\frac{1}{n}-0} = \frac{1}{n} < \epsilon \]

여기서 마지막 부등식은 $n > \frac{1}{\epsilon}$일 때 성립한다. 따라서 $N = \frac{1}{\epsilon}$으로 잡으면 수열의 극한의 정의에 의해, $\frac{1}{n} \to 0$임을 알 수 있다..

 

예제. 수열 $((2n+1)/3n+2)$이 $2/3$으로 수렴함을 증명해 보자: 주어진 $\epsilon>0$에 대하여,

\[ \abs{a_n-L} = \abs{\frac{2n+1}{3n+2}-\frac{2}{3}} = \abs{\frac{6n+3-(6n+4)}{3(3n+2)}} = \frac{1}{9n+6} < \frac{1}{9n} < \epsilon \]

여기서 마지막 부등식은 $n > \frac{1}{9\epsilon}$일 때 성립한다. 따라서 $N = \frac{1}{9\epsilon}$으로 잡으면 된다..

 

예제. 수열 $(n)$은 어떠한 실수로도 수렴하지 않음을 증명해 보자: 임의의 실수 $L \in \R$과 자연수 $N \in \N$을 택하자. 그러면 $n \geq \max \{L,\,N\} +1$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 $\epsilon=1$이라 하면, $\abs{a_n-L} = \abs{n-L} \geq 1$이 되어 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다. 이와 같이 $(a_n)$이 어떤 실수로도 수렴하지 않는 경우, $(a_n)$은 발산(divergent)한다고 한다..

 

이번 절에서는 수열의 극한에 대한 다양한 성질들에 대해서 알아보도록 하자. 먼저 다음 정리는 극한의 유일성을 보여준다.

 

정리.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 극한은 유일하다.

 

증명. 수열 $(a_n)$이 두 극한 $L_1$과 $L_2$로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 주어진 $\epsilon>0$에 대하여, 적당한 두 자연수 $N_1,\, N_2 \in \N$이 존재하여,

\[ \begin{align*} n > N_1 &\implies \abs{a_n-L_1} < \frac{\epsilon}{2} \\[5px] n > N_2 &\implies \abs{a_n-L_2} < \frac{\epsilon}{2} \end{align*} \]

이제 $N = \max\{ N_1,\, N_2 \}$라 하자. 그러면 모든 $n>N$에 대하여,

\[ \abs{L_1-L_2} \leq \abs{a_n-L_1} + \abs{a_n-L_2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]

를 얻는다. 여기서 $\epsilon>0$이 임의의 양수이므로 $\abs{L_1-L_2} = 0$이여야만 하고, 따라서 $L_1 = L_2$이다..

 

이제 수열의 극한을 간단히 증명할 수 있도록 도와주는 다음의 두 정리를 살펴보자.

 

정리.

두 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$이 각각 $L$과 $K$로 수렴한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 이제 이항연산 $\newcommand{\ultimate}{\, \rlap{\rlap{\times}{\div}}{+} \,} \ultimate$가 사칙연산 $+,\, -,\, \times,\, \div$ 중 하나라 하자. 이제 새로운 수열 $(c_n)$을 $c_n = a_n \ultimate b_n$으로 정의하면, $(c_n)$은 $L \ultimate K$로 수렴한다. (단, $\ultimate$가 $\div$인 경우, $K \neq 0$이여야 한다.)

 

정리. 조임정리(squeeze theorem)

세 수열 $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$에 대하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq c_n \leq b_n$이 성립하고 $(a_n)$과 $(b_n)$이 하나의 극한 $L$로 수렴한다고 하자. 그러면 $(c_n)$ 또한 $L$로 수렴한다.

 

증명.

 

주어진 수열 $(a_n)$에 대하여,

1. 적당한 실수 $M \in \R$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq M$이면 수열 $(a_n)$은 위로 유계(bounded above)라 한다.
2. 적당한 실수 $m \in \R$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq M$이면 수열 $(a_n)$은 아래로 유계(bounded below)라 한다.
3. 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계이면, 즉, 적당한 실수 $M$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq M$이면 수열 $(a_n)$은 유계(bounded)라 한다.
4. 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq a_{n+1}$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 증가(increasing)한다고 한다.
5. 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq a_{n+1}$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 감소(decreasing)한다고 한다.
6. 증가 수열이거나 감소 수열이면 단조 수열(monotone sequence)라 한다.

먼저 아래 정리에 의해 모든 수렴하는 수열은 유계 수열임을 알 수 있다.

 

정리.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 이 수열은 유계이다.

  증명. 수열 $(a_n)$이 극한 $L$로 수렴한다고 가정해 보자. 이제 $\epsilon=1$로 잡으면, 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $\abs{a_n-L} < 1$을 얻는다. 따라서 $n > N$인 경우 $\abs{a_n} < \abs{L} + 1$임을 알 수 있다. 이제 \[ M = \max\{ \abs{a_1},\, \abs{a_2},\, \ldots,\, \abs{a_{N-1}},\, \abs{L}+1 \} \] 로 잡으면 모든 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq M$이 되어 $(a_n)$이 유계 수열임을 알 수 있다..

  예제. 위 정리의 역은 성립하지 않는다: 수열 $(a_n)$, $a_n = (-1)^n$을 생각해 보자. 그러면 모든 자연수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq 1$이므로 $(a_n)$은 유계 수열이다. 이제 임의의 실수 $L \in \R$을 택하자. 그러면 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_{n+1}-a_n}=2$이는 관찰로부터 다음 부등식을 얻는다. \[ 2 = \abs{a_{n+1}-a_n} \leq \abs{a_{n+1}-L} + \abs{a_n-L} \] 이는 임의의 $n \in \N$에 대하여 부등식 $\abs{a_{n+1}-L} \geq 1$ 또는 $\abs{a_n-L} \geq 1$이 반드시 성립해야 함을 의미한다. 따라서 $\epsilon=1$로 잡으면, 수열의 극한에 정의에 의해 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다..