2.1. 수열(sequence)의 정의와 수열의 극한(limit)

Table of Contents

  1. 실수 체계(real number system)
    1. 실수 체계(real number system)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  2. 수열(sequence)의 극한(limit)
    1. 수열(sequence)의 극한(limit)
    2. 부분수열(subsequence)
    3. 코시수열(Cauchy sequence)
  3. 급수(series)
    1. 급수(series)
    2. 수렴 판정법
    3. 멱급수(power series)
  4. 함수(function)와 연속성(continuity)
    1. 함수의 극한
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  5. 미분(differentiation)
    1. 미분계수와 도함수(derivative)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  6. 리만 적분(Riemann integration)
    1. 리만 적분(Riemann integration)
    2. 리만 적분의 성질
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  7. 균등 연속(uniform continuous)
    1. 실수 체계(real number system)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)

수열(sequence)이란 수학적 대상들의 순서있는 나열이다. 수열은 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 일반적으로 수열을 $(a_1,\, a_2,\, a_3,\, \ldots)$ 또는 간단히 $(a_n)$으로 나타내며, 여기서 $a_n$은 주어진 수열의 $n$번째 항을 나타낸다. 일반적으로 수열의 각 항은 어떤 수학적 대상이든지 상관이 없지만, 여기서는 오직 실수열(real sequence)만을 생각하기로 한다. 여기서 실수열이란, 수열의 각 항 $a_n$이 실수인 수열을 말한다.

 

수열의 극한(limit)
정의. 수열의 극한(limit)

수열 $(a_n)$과 실수 $L$이 주어졌다고 하자. 이제 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $\abs{a_n-L} < \epsilon$이 성립하면, 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴(converge)한다고 한고 하고, $L$을 수열 $(a_n)$의 극한(limit)이라 부른다.

 

수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴하는 경우를 다음과 같은 기호로 나타낸다. \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \qquad \text{or} \qquad a_n \to L \;\ \text{as} \;\; n \to \infty \]

 

예제. 수열 $(\frac{1}{n})$이 $0$으로 수렴함을 증명해 보자: 주어진 $\epsilon>0$에 대하여,

\[ \abs{a_n-L} = \abs{\frac{1}{n}-0} = \frac{1}{n} < \epsilon \]

여기서 마지막 부등식은 $n > \frac{1}{\epsilon}$일 때 성립한다. 따라서 $N = \frac{1}{\epsilon}$으로 잡으면 수열의 극한의 정의에 의해, $\frac{1}{n} \to 0$임을 알 수 있다..

 

예제. 수열 $((2n+1)/3n+2)$이 $2/3$으로 수렴함을 증명해 보자: 주어진 $\epsilon>0$에 대하여,

\[ \abs{a_n-L} = \abs{\frac{2n+1}{3n+2}-\frac{2}{3}} = \abs{\frac{6n+3-(6n+4)}{3(3n+2)}} = \frac{1}{9n+6} < \frac{1}{9n} < \epsilon \]

여기서 마지막 부등식은 $n > \frac{1}{9\epsilon}$일 때 성립한다. 따라서 $N = \frac{1}{9\epsilon}$으로 잡으면 된다..

 

예제. 수열 $(n)$은 어떠한 실수로도 수렴하지 않음을 증명해 보자: 임의의 실수 $L \in \R$과 자연수 $N \in \N$을 택하자. 그러면 $n \geq \max \{L,\,N\} +1$을 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 $\epsilon=1$이라 하면, $\abs{a_n-L} = \abs{n-L} \geq 1$이 되어 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다. 이와 같이 $(a_n)$이 어떤 실수로도 수렴하지 않는 경우, $(a_n)$은 발산(divergent)한다고 한다..

 

수열의 극한에 대한 성질들

이번 절에서는 수열의 극한에 대한 다양한 성질들에 대해서 알아보도록 하자. 먼저 다음 정리는 극한의 유일성을 보여준다.

 

정리.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 극한은 유일하다.

 

증명. 수열 $(a_n)$이 두 극한 $L_1$과 $L_2$로 수렴한다고 가정해 보자. 그러면 주어진 $\epsilon>0$에 대하여, 적당한 두 자연수 $N_1,\, N_2 \in \N$이 존재하여,

\[ \begin{align*} n > N_1 &\implies \abs{a_n-L_1} < \frac{\epsilon}{2} \\[5px] n > N_2 &\implies \abs{a_n-L_2} < \frac{\epsilon}{2} \end{align*} \]

이제 $N = \max\{ N_1,\, N_2 \}$라 하자. 그러면 모든 $n>N$에 대하여,

\[ \abs{L_1-L_2} \leq \abs{a_n-L_1} + \abs{a_n-L_2} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]

를 얻는다. 여기서 $\epsilon>0$이 임의의 양수이므로 $\abs{L_1-L_2} = 0$이여야만 하고, 따라서 $L_1 = L_2$이다..

 

이제 수열의 극한을 간단히 증명할 수 있도록 도와주는 다음의 두 정리를 살펴보자.

 

정리.

두 수열 $(a_n)$과 $(b_n)$이 각각 $L$과 $K$로 수렴한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. 이제 이항연산 $\newcommand{\ultimate}{\, \rlap{\rlap{\times}{\div}}{+} \,} \ultimate$가 사칙연산 $+,\, -,\, \times,\, \div$ 중 하나라 하자. 이제 새로운 수열 $(c_n)$을 $c_n = a_n \ultimate b_n$으로 정의하면, $(c_n)$은 $L \ultimate K$로 수렴한다. (단, $\ultimate$가 $\div$인 경우, $K \neq 0$이여야 한다.)

 

정리. 조임정리(squeeze theorem)

세 수열 $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$에 대하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq c_n \leq b_n$이 성립하고 $(a_n)$과 $(b_n)$이 하나의 극한 $L$로 수렴한다고 하자. 그러면 $(c_n)$ 또한 $L$로 수렴한다.

 

증명.

 

특수한 형태의 수열

주어진 수열 $(a_n)$에 대하여,

  1. 적당한 실수 $M \in \R$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq M$이면 수열 $(a_n)$은 위로 유계(bounded above)라 한다.
  2. 적당한 실수 $m \in \R$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq M$이면 수열 $(a_n)$은 아래로 유계(bounded below)라 한다.
  3. 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계이면, 즉, 적당한 실수 $M$이 존재하여, 모든 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq M$이면 수열 $(a_n)$은 유계(bounded)라 한다.
  4. 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \leq a_{n+1}$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 증가(increasing)한다고 한다.
  5. 모든 $n \in \N$에 대하여 $a_n \geq a_{n+1}$이 성립하면 수열 $(a_n)$은 감소(decreasing)한다고 한다.
  6. 증가 수열이거나 감소 수열이면 단조 수열(monotone sequence)라 한다.

먼저 아래 정리에 의해 모든 수렴하는 수열은 유계 수열임을 알 수 있다.

 

정리.

만약 주어진 수열 $(a_n)$이 수렴한다면, 이 수열은 유계이다.

  증명. 수열 $(a_n)$이 극한 $L$로 수렴한다고 가정해 보자. 이제 $\epsilon=1$로 잡으면, 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여, $n>N$일 때마다 $\abs{a_n-L} < 1$을 얻는다. 따라서 $n > N$인 경우 $\abs{a_n} < \abs{L} + 1$임을 알 수 있다. 이제 \[ M = \max\{ \abs{a_1},\, \abs{a_2},\, \ldots,\, \abs{a_{N-1}},\, \abs{L}+1 \} \] 로 잡으면 모든 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq M$이 되어 $(a_n)$이 유계 수열임을 알 수 있다..

  예제. 위 정리의 역은 성립하지 않는다: 수열 $(a_n)$, $a_n = (-1)^n$을 생각해 보자. 그러면 모든 자연수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq 1$이므로 $(a_n)$은 유계 수열이다. 이제 임의의 실수 $L \in \R$을 택하자. 그러면 임의의 자연수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_{n+1}-a_n}=2$이는 관찰로부터 다음 부등식을 얻는다. \[ 2 = \abs{a_{n+1}-a_n} \leq \abs{a_{n+1}-L} + \abs{a_n-L} \] 이는 임의의 $n \in \N$에 대하여 부등식 $\abs{a_{n+1}-L} \geq 1$ 또는 $\abs{a_n-L} \geq 1$이 반드시 성립해야 함을 의미한다. 따라서 $\epsilon=1$로 잡으면, 수열의 극한에 정의에 의해 $(a_n)$은 $L$로 수렴하지 않음을 알 수 있다..

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