수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. $(a_n)$의 부분수열(subsequence)이란 $(a_n)$의 순서는 그대로 유지하되 몇몇 항들을(유한할수도 무한할수도 있다) 제외하여 얻은 수열을 말한다. 이를 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

 

정의 2.2.1. 부분수열(subsequence)

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 또한 자연수 수열 $(n_k)$가 순증가수열이라고 하자. 즉, $(n_k)$는 \[ n_1 < n_2 < n_3 < \cdots \] 를 만족한다. 이 때, 수열 $(a_{n_k})$를 $(a_n)$의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

 

예제. 수열 $((-1)^n)$은 수열 $(\sin(\frac{n\pi}{4}))$의 부분수열이다.

 

부분수열에 대한 몇 가지 간단한 성질들에 대하여 살펴보자.

 

정리 2.2.2.

수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴하면, $(a_n)$의 임의의 부분수열 또한 모두 $L$로 수렴한다.

 

증명.

 

정리 2.2.3.

수열 $(a_n)$은 언제나 증가하는 부분수열 또는 감소하는 부분수열을 갖는다.

 

증명.

 

정리 2.2.4.볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

수열 $(a_n)$이 유계이면, $(a_n)$은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

 

증명. 우선 정리 2.2.3.에 의해 수열 $(a_n)$은 증가하는 부분수열 또는 감소하는 부분수열을 갖는다. 일반성을 잃지 않고 $(a_n)$이 증가하는 부분수열 $(a_{n_k})$를 가진다고 가정하자. 이제 $(a_n)$가 유계이므로 $(a_{n_k})$ 또한 (위로) 유계이다. 따라서 단조수렴정리에 의해 $(a_{n_k})$는 수렴한다..

 

정의 2.2.5.집적점(accumulation point)

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 만약 실수 $A \in \R$로 수렴하는 $(a_n)$의 부분수열이 존재하면 $A$를 $(a_n)$의 집적점(accumulation point)이라 한다.

 

예제.

1. 수열 $(\frac{1}{n})$은 하나의 집적점 $0$을 갖는다.
2. 수열 $(\sin(\frac{n\pi}{4}))$은 다섯개의 집적점 $0$, $\pm 1$, $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$를 갖는다.
3. 수열 $(a_n)$을 아래와 같이 정의하자. \[ \frac{1}{1},\, \frac{1}{2},\, \frac{2}{2},\, \frac{1}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{3}{3},\, \frac{1}{4},\, \frac{2}{4},\, \frac{3}{4},\, \frac{4}{4},\, \ldots \]

   그러면 $(a_n)$은 무한히 많은 집적점을 갖는다. 실제로 폐구간 $[0,\,1]$의 모든 점들이 이 수열의 집적점일을 보일 수 있다.

 

참고. 정리 2.2.2.에 의해 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴한다면, $(a_n)$은 유일한 집적점 $L$을 갖는다. 하지만 이 명제의 역은 성립하지 않는다: 수열 $(a_n)$을 아래와 같이 정의하자. \[ 1,\, 2,\, 1,\, 3,\, 1,\, 4,\, 1,\, 5,\, \ldots \] 그러면 $(a_n)$은 집적점 $1$을 갖지만 이 수렴하진 않는다.

 

정의 2.2.5.

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 만약 $(a_n)$이 유계이고 유일한 집적점을 가지면 그리고 이 경우에만 $(a_n)$은 수렴한다.

 

증명.