2.2. 부분수열(subsequences)

Table of Contents

  1. 실수 체계(real number system)
    1. 실수 체계(real number system)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  2. 수열(sequence)의 극한(limit)
    1. 수열(sequence)의 극한(limit)
    2. 부분수열(subsequence)
    3. 코시수열(Cauchy sequence)
  3. 급수(series)
    1. 급수(series)
    2. 수렴 판정법
    3. 멱급수(power series)
  4. 함수(function)와 연속성(continuity)
    1. 함수의 극한
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  5. 미분(differentiation)
    1. 미분계수와 도함수(derivative)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  6. 리만 적분(Riemann integration)
    1. 리만 적분(Riemann integration)
    2. 리만 적분의 성질
    3. 실수의 비가산성(uncountability)
  7. 균등 연속(uniform continuous)
    1. 실수 체계(real number system)
    2. 실수의 완비성(completeness)
    3. 실수의 비가산성(uncountability)

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. $(a_n)$의 부분수열(subsequence)이란 $(a_n)$의 순서는 그대로 유지하되 몇몇 항들을(유한할수도 무한할수도 있다) 제외하여 얻은 수열을 말한다. 이를 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

 

정의 2.2.1. 부분수열(subsequence)

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 또한 자연수 수열 $(n_k)$가 순증가수열이라고 하자. 즉, $(n_k)$는 \[ n_1 < n_2 < n_3 < \cdots \] 를 만족한다. 이 때, 수열 $(a_{n_k})$를 $(a_n)$의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

 

예제. 수열 $((-1)^n)$은 수열 $(\sin(\frac{n\pi}{4}))$의 부분수열이다.

 

부분수열에 대한 몇 가지 간단한 성질들에 대하여 살펴보자.

 

정리 2.2.2.

수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴하면, $(a_n)$의 임의의 부분수열 또한 모두 $L$로 수렴한다.

 

증명.

 

정리 2.2.3.

수열 $(a_n)$은 언제나 증가하는 부분수열 또는 감소하는 부분수열을 갖는다.

 

증명.

 

정리 2.2.4.볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

수열 $(a_n)$이 유계이면, $(a_n)$은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

 

증명. 우선 정리 2.2.3.에 의해 수열 $(a_n)$은 증가하는 부분수열 또는 감소하는 부분수열을 갖는다. 일반성을 잃지 않고 $(a_n)$이 증가하는 부분수열 $(a_{n_k})$를 가진다고 가정하자. 이제 $(a_n)$가 유계이므로 $(a_{n_k})$ 또한 (위로) 유계이다. 따라서 단조수렴정리에 의해 $(a_{n_k})$는 수렴한다..

 

정의 2.2.5.집적점(accumulation point)

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 만약 실수 $A \in \R$로 수렴하는 $(a_n)$의 부분수열이 존재하면 $A$를 $(a_n)$의 집적점(accumulation point)이라 한다.

 

예제.

  1. 수열 $(\frac{1}{n})$은 하나의 집적점 $0$을 갖는다.
  2. 수열 $(\sin(\frac{n\pi}{4}))$은 다섯개의 집적점 $0$, $\pm 1$, $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$를 갖는다.
  3. 수열 $(a_n)$을 아래와 같이 정의하자. \[ \frac{1}{1},\, \frac{1}{2},\, \frac{2}{2},\, \frac{1}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{3}{3},\, \frac{1}{4},\, \frac{2}{4},\, \frac{3}{4},\, \frac{4}{4},\, \ldots \]

    그러면 $(a_n)$은 무한히 많은 집적점을 갖는다. 실제로 폐구간 $[0,\,1]$의 모든 점들이 이 수열의 집적점일을 보일 수 있다.

 

참고. 정리 2.2.2.에 의해 수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴한다면, $(a_n)$은 유일한 집적점 $L$을 갖는다. 하지만 이 명제의 역은 성립하지 않는다: 수열 $(a_n)$을 아래와 같이 정의하자. \[ 1,\, 2,\, 1,\, 3,\, 1,\, 4,\, 1,\, 5,\, \ldots \] 그러면 $(a_n)$은 집적점 $1$을 갖지만 이 수렴하진 않는다.

 

정의 2.2.5.

수열 $(a_n)$이 주어졌다고 하자. 만약 $(a_n)$이 유계이고 유일한 집적점을 가지면 그리고 이 경우에만 $(a_n)$은 수렴한다.

 

증명.

 

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