정의 2.3.1 코시수열(Cauchy sequence)

수열 $(a_{n})$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여, $m \geq n > N$일 때마다 $\abs{a_{m}-a_{n}} < \epsilon$이 성립하면, 수열 $(a_{n})$이 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다.

 

먼저 코시수열의 정의에 의해서 아래의 사실들을 간단히 얻을 수 있다.

 

정리 2.3.2

수열 $(a_{n})$이 수렴하면, $(a_{n})$은 코시수열이다.

 

증명. 수열 $(a_{n})$이 극한 $L$로 수렴한다고 가정하자. 그러면 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 적당한 자연수 $N \in \N$이 존재하여 $n > N$일 때마다 $\abs{a_{n}-L} < \frac{\epsilon}{2}$이 성립한다. 따라서 임의의 자연수 $m \geq n > N$에 대하여 \[ \abs{a_{m}-a_{n}} \leq \abs{a_{m}-L} + \abs{L-a_{n}} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \] 이 성립한다. 따라서 $(a_{n})$은 코시수열이다..

 

정리 2.3.3

수열 $(a_{n})$이 코시수열이면, $(a_{n})$은 유계이다.

 

증명. 수열 $(a_{n})$이 코시수열이라 하자. 이제 $\epsilon=1$로 잡으면, 적당한 자연수 $N_{0} \in \N$이 존재하여 $m \geq n > N_{0}$일 때마다 $\abs{a_{n}-L} < 1$이 성립한다. 특히 $n = N_{0}+1$이라 하면, 모든 $m \geq N_{0}+1$에 대하여 \[ \abs{a_{m}-a_{N_{0}+1}} < 1 \implies \abs{a_{m}} < 1 + \abs{a_{N_{0}+1}} \] 임을 알 수 있다. 이제 \[ M = \max\{ \abs{a_1},\, \abs{a_2},\, \ldots,\, \abs{a_{N_{0}}},\, \abs{L}+1 \} \] 로 잡으면 모든 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_n} \leq M$이 되어 $(a_n)$은 유계이다..

 

예제. 유계인 수열이 언제나 수렴하는 수열은 아니었듯이, 유계인 수열이 언제나 코시수열은 아니다. 예를 들어 수열 $(a_{n})$을 $a_{n} = (-1)^{n}$으로 정의하면, $(a_{n})$은 유계이지만 모든 자연수 $n \in \N$에 대하여 $\abs{a_{n+1}-a_{n}} = 2$이므로 $\epsilon=1$로 잡으면 $(a_{n})$이 유계가 아님을 알 수 있다..

 

아래의 정리는 (정리 2.3.2와 함께) 실수에서 수열 $(a_{n})$이 수렴한다는 사실과 코시수열이라는 사실은 서로 동치임을 보여준다.

 

정리 2.3.4

수열 $(a_{n})$이 코시수열이면, $(a_{n})$은 수렴한다.

 

증명. 수열 $(a_{n})$이 코시수열이라 하자. 그러면 정리 2.3.3에 의해 $(a_{n})$은 유계이고 따라서 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 $(a_{n})$의 수렴하는 부분수열 $(a_{n_{k}})$가 존재한다. 이 부분수열의 극한을 $L$이라 하자. 그러면 적당한 자연수 $N_{1} \in \N$이 존재하여 $n_{k} > N_{1}$일 때마다 $\abs{a_{n_{k}}-L} < \frac{\epsilon}{2}$가 성립한다. 또한 $(a_{n})$이 코시수열이므로, 적당한 자연수 $N_{2} \in \N$이 존재하여 $m \geq n > N_{2}$일 때마다 $\abs{a_{m}-a_{n}} < \frac{\epsilon}{2}$이 성립한다. 이제 $N = \max\{N_{1},\, N_{2}\}$라 하자. 그러면 모든 $n_{k} \geq n > N$에 대하여, \[ \abs{a_{n}-L} \leq \abs{a_{n}-a_{n_{k}}} + \abs{a_{n_{k}}-L} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \] 이 성립한다. 따라서 $(a_n)$은 극한 $L$로 수렴한다..

 

참고. 정리 2.3.4에 의해서 주어진 수열 $(a_{n})$의 극한을 알지 못하더라도 이 수열의 수렴성을 판단할 수 있다. 이와 같이 수열 $(a_{n})$의 수렴성을 $(a_{n})$이 코시수열임을 보임으로서 증명하는 방법을 코시 판정법(Cauchy criterion)이라 한다.

 

참고. 실수집합 $\R$에 대하여, 상한공리(공리 1.2.1), 정리 2.1.3, 볼차노-바이어슈트라스 정리(정리 2.2.4), 그리고 정리 2.3.4는 모두 동치 명제임을 보일 수 있다. 즉, 실수집합 $\R$에 대하여 다음 명제들은 모두 동치이다.

1. 위로 유계인 부분집합 $S \subset \R$은 상한을 갖는다.
2. 수열 $(a_{n})$이 증가수열이고 위로 유계이면, $(a_{n})$은 수렴한다.
3. 수열 $(a_{n})$이 유계이면, $(a_{n})$은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
4. 수열 $(a_{n})$이 코시수열이면, $(a_{n})$은 수렴한다.