이번에는 덧셈과 곱셈 연산을 보존하는 환에서 환으로의 사상(map)에 대해서 알아보도록 하자.

참고.

1. 이때 좌변의 덧셈 곱셈은 $R$에서, 우변의 덧셈 곱셈은 $S$에서 이루어진다.
2. 모든 환준동형사상은 $(R,\, +)$에서 $(S,\, +)$로의 군준동형사상(group homomorphism)으로 생각할 수 있으므로, 이 사상은 $0_R$를 $0_S$로 보낸다. 하지만 $R$과 $S$ 모두 곱셈에 대한 항등원(multiplicative identity)이 존재한다고 하더라도, 환준동형사상이 반드시 $1_R$을 $1_S$로 보내지는 않는다.
3. 두 환준동형사상의 합성(composition) 또한 환준동형사상이 된다.

참고.

1. 동형인 두 환 사이에 모든 (환이론과 관련된) 성질들은 보존된다. 이와 같은 이유로 서로 동형인 두 환은 완전히 같은 것으로 간주해도 무방하다.
2. 환동형사상의 역(inverse) 또한 환동형사상이 된다.

예제 5.3

1. $\Z$에서 $\Z_n$로의 사상을 $x \mapsto x \mod n$와 같이 정의하자. 그러면 이 사상은 $\Z$의 덧셈과 곱셈의 항등원을 $\Z_n$의 덧셈과 곱셈의 항등원으로 각각 보내는 환준동형사상이 된다. 물론 이 사상은 환동형사상은 아니다.
2. $\Z$에서 $\Z$로의 사상을 $x \mapsto 2x$와 같이 정의하자. 이 사상은 덧셈에 관한 군준동형사상이지만, 환준동형사상은 아니다.
3. $\Z$에서 $2 \times 2$ 실행렬들로 이루어진 환으로 가는 사상을 $x \mapsto \left( \begin{smallmatrix} x & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right)$와 같이 정의한다. 이 사상은 환준동형사상이지만 곱셈의 항등원들 곱셈의 항등원으로 보내지 않는다.
4. $[0,\, 1]$위에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 환 위에서 $\R$로의 "$1/2$에서의 값매김사상(evaluation map)"을 임의의 $f \in C[0,\,a]$에 대하여 $e_{1/2}(f) = f (1/2)$인 것으로 정의한다. 그러면 이 값매김사상은 환준동형사상이다.
5. 이번에는 환 $\Q[x]$에서 $\Q$로의 "$1$에서의 값매김사상"을 $p \in \Q[x]$에 대하여 $e_1(p) = p(1)$인 것으로 정의해 보자. 즉, 이 환준동형사상은 아래와 같이 정의된다:
   \[ e_1(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n) = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n. \]
6. $\Z[x]$에서 $\R$로의 "$\sqrt{2}$에서의 값매김사상" $p \mapsto p(\sqrt{2})$ 또한 환준동형사상이다. 이 사상은 앞으로 매우 중요하게 다뤄질 것이다.
7. $\C$에서 $2 \times 2$ 실행렬들의 환으로의 사상을 $a + bi \mapsto \left( \begin{smallmatrix} a & b \\ -b & a \end{smallmatrix} \right)$와 같이 정의하자. 이 사상 또한 환준동형사상의 한 예이다.
8. $R$을 $9$개의 원소 $\set{a + bx}{a,\, b \in \Z_3}$로 구성된 체(field)라고 하자. 또한 이 체는 부정원에 대한 곱셈규칙 $x^2 = -1$을 따른다고 하자. 유사하게 $S$ 또한 $9$개의 원소 $\set{a + by}{a,\, b \in Z_3}$로 구성된 체로써 부정원에 대한 곱셈규칙 $y^2 = y + 1$를 따른다고 하자. 그러면 $1 \mapsto 1$이고 $x \mapsto y + 1$로 정의된 사상은 준동형사상이된다. 증명. 다음절에서 간단한 방법으로 이를 증명해 볼 것이다.

이번에는 이전 절에서 다루었던 아이디얼의 개념과 준동형사상과의 관계에 대해 알아보자.

증명. 간단히 증명 가능하므로 생략하도록 하자..

참고.

1. 위 정리는 군이룬에서 다루었던 정리 중 하나와 대응된다: 군준동형사상(group homomorphism)의 핵(kernel)은 정규부분군(normal subgroup)이다.
2. 환 $R$이 가환(commutative)이 아니더라도, 핵은 언제나 양쪽아이디얼(two-sided ideal)이다.

예제 5.6

1. 위에서 살펴 본 $\Z$에서 $\Z_n$으로의 환준동형사상의 핵은 아이디얼 $n\Z$와 같다.
2. 군이론에서의 경우와 마찬가지로, 환준동형사상의 핵이 $\{0\}$인 것과 환준동형사상이 일대일인 것은 서로 동치이다. 증명. ($\Rightarrow$) 만약 $f(r) = f(s)$라면 $f(r - s) = 0$을 얻고, 따라서 $r - s$는 $\ker(f)$에 속한다. 그러므로 $r - s = 0$이고 $r=s$를 얻는다. ($\Leftarrow$) 이제 $a \in \ker(f)$이고 $a \neq 0$라고 가정해보자. 그러면 $a,\, 0 \mapsto 0$이어야 하고 따라서 $f$가 일대일이라는 가정에 모순이다.
3. $\R[x]$에서 $\R$로의 "$0$에서의 값매김사상(evaluation map)"에 대한 핵은 상수항이 $0$인 다항식으로만 구성된 아이디얼 $\langle x \rangle$와 같다.
4. $\Z[x]$에서 $Z_2$로의 "법 $2$에 대한 $0$에서의 값매김사상"에 대한 핵은 짝수 상수항을 가지는 다항식으로만 구성된 아이디얼 $\langle 2,\, x \rangle$와 같다.

참고.

사실 모든 아이디얼은 적당한 환준동형사상의 핵과 같음을 보일수 있다. 이는 모든 정규부분군이 적당한 군준동형사상의 핵과 같다는 군이론에서의 정리와 대응된다.

마지막으로 다룰 다음의 정리 또한 군이론에서 다룬 정리 중 하나와 대응되는 정리이다.

증명. 환준동형사상의 상이 $\operatorname{im}(f) = \set{s \in S}{s = f(r) \text{ for some } r \in R}$로 정의된다는 사실을 이용하면 증명은 간단하다..

예제.

$\Z[x]$에서 $\R$로의 "$\sqrt{2}$에서의 값매김사상" $e_{\sqrt{2}}$에 대한 상은 이전에 살펴보았던 부분환 $\set{a + b \sqrt{2}}{a,\, b \in \Z}$와 같다.