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행렬 $A$에 대하여 $\lambda$가 고윳값이 될 필요충분조건은 \[ p(\lambda) := \det(A - \lambda I) = 0 \] 을 만족하는 것이다. 이 때, $\lambda$에 대한 $n$차 다항식 $p(\lambda)$를 $A$의 특성다항식(characteristic polynomial)이라 한다.
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주어진 고윳값에 대한 고유벡터는 무한히 많이 존재한다. 따라서 보통의 경우는 가장 간단히 표현되는 고유벡터를 택하거나 크기가 $1$이 되는 고유벡터를 택하는 것이 일반적이다.
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예제 2.1.2.
Q. 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$의 특성다항식을 구하고, 이를 이용하여 행렬 $A$의 모든 고유쌍을 구하여라.
A. 행렬 $A$의 특성다항식은
\[ \begin{align*}
p(\lambda) & = \det(A - \lambda I) \\
& = \det \left( \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix} \right) \\[1ex]
& = \lambda^2 - 2 \lambda - 3 \\[1ex]
& = (\lambda - 3)(\lambda + 1)
\end{align*} \]
이므로 행렬 $A$는 $\lambda = 3,\, -1$을 고윳값으로 갖는다. 이제 각각의 고윳값에 대한 고유벡터를 구해보자.
\[ \begin{align*}
(A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0} & \implies \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1ex]
& \implies x_1 = 1,\, x_2 = 2.
\end{align*} \]
마찬가지 방법으로
\[ \begin{align*}
(A - (-1)I)\mathbf{x} = \mathbf{0} & \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\[1ex]
& \implies x_1 = 1,\, x_2 = -2.
\end{align*} \]
따라서 행렬 $A$는 고유쌍 $\Big( 3,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \Big)$, $\Big( -1,\, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \Big)$를 갖는다.$ $
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$n \times n$ 정사각행렬 $A,\, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대하여, \[ P^{-1}AP = B \] 를 만족하는 가역행렬 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$가 존재할 때, 두 행렬 $A$와 $B$는 서로 닮은(similar) 행렬이라고 한다. 두 행렬 $A,\, B$가 서로 닮음인 경우, $A$와 $B$의 고윳값, 행렬식 등이 서로 같다.
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만약 $A$가 어떤 대각행렬과 닯음일 때, 다시 말해 \[ P^{-1}AP = D \] 를 만족하는 대각행렬 $D \in \mathbb{R}^{n \times n}$와 가역행렬 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$가 존재할 때, $A$는 대각화 가능(diagonalizable)하다고 한다. 만약 $A$가 $n$개의 서로 다른 고윳값을 가지는 경우, $A$는 언제나 대각화 가능하다. 이때 각 열이 $A$의 고유벡터로 이루어진 행렬을 $P$로 잡을 수 있고, 이 때의 대각행렬 $D$는 행렬 $A$의 고윳값을 대각성분으로 갖는다.
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예제 2.1.3.
Q. 다음 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$을 대각화 하여라.
A. 위 예제 2.1.2.에서 $A$가 고유쌍 $\Big( 3,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \Big)$, $\Big( -1,\, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \Big)$를 갖는 것을 확인하였다. $A$의 고윳값이 모두 다르므로 $A$는 대각화 가능하다. 이제
\[ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \]
로 정의하면,
\[ \begin{align*}
P^{-1}AP & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \\[1ex]
& = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \\[1ex]
& = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\end{align*} \]
행렬 $P$의 $1$열과 행렬 $D$의 $(1,\, 1)$-성분, 그리고 행렬 $P$의 $2$열과 행렬 $D$의 $(2,\, 2)$-성분이 각각 행렬 $A$의 고유쌍을 이룸을 확인하자.$ $
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다음 고윳값과 고유벡터에 관한 성질들을 증명 없이 받아들이기로 하자. 행렬 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$에 대하여,
- $A$는 복소수 범위에서 (중복을 포함하여) 언제나 $n$개의 고윳값을 갖는다.
- $A$가 대칭행렬이면, $A$의 모든 고윳값은 실수이다.
- $A$의 서로 다른 고윳값에 대응되는 고유벡터들은 선형독립(linearly independent)이다. 따라서 $A$가 $n$개의 서로 다른 고윳값을 가지면, 이에 대응되는 고유벡터들은 $\mathbb{R}^n$의 기저(basis)를 이루고, 따라서 $A$는 대각화가 가능하다.
- $A$가 대칭행렬이면, 서로 다른 고윳값에 대응되는 고유벡터들은 서로 직교한다. 따라서 $A$가 $n$개의 서로 다른 고윳값을 가지면, 이에 대응되는 고유벡터들은 $\mathbb{R}^n$의 직교기저(orthogonal basis)를 이루고, 따라서 $A$는 대각화가 가능하다.
- $A$가 대칭행렬이면, $\mathbb{R}^n$의 직교기저를 이루는 $n$개의 고유벡터를 언제나 찾을 수 있다. 따라서 대칭행렬은 언제나 대각화가 가능하다.
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행렬 $A$의 한 고윳값 $\lambda$를 알고 있다면, 선형방정식 \[ (A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \] 을 만족하는 해 $\mathbf{x}$가 $\lambda$에 대응되는 고유벡터가 된다. 다음 정리는 역으로 행렬 $A$의 고유벡터 $\mathbf{x}$를 알고 있을 때, 이로부터 대응되는 고유값 $\lambda$를 얻는 방법을 알려준다.
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증명. 식 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$의 양변에 $\mathbf{x}^{\T}$를 곱해주면 \[ \mathbf{x}^{\T} A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{\T} \lambda \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\T} \mathbf{x} \] 를 얻는다. 이제, $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$이므로 $\mathbf{x}^{\T} \mathbf{x} \neq 0$이므로 위 식의 양변을 $\mathbf{x}^{\T} \mathbf{x}$로 나눠주면 원하는 등식을 얻는다.$ $
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