크래머 공식_{(Cramer's rule)}이란 주어진 선형연립방정식 \[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \] 의 계수행렬이 정사각행렬일 때 (즉, 선형연립방정식의 식의 개수와 미지수의 개수가 같을 때) 행렬식의 계산을 이용하여 해를 구하는 방법이다.

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각각의 $1 \leq j \leq n$에 대하여, $A_{j}(\mathbf{b})$를 행렬 $A$의 $j$-열을 벡터 $\mathbf{b}$로 치환한 행렬로 정의하자. 이때, 이 선형연립방정식의 해 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$는 \[ x_j = \frac{\det(A_{j}(\mathbf{b}))}{\det(A)} \] 로 주어진다.

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예제 1.2.1.
Q. 어떤 선형연립방정식의 첨가행렬이 다음과 같이 주어질 때, 크래머 공식을 이용하여 이 방정식의 해를 구하여라. \[ [ A \,|\, \mathbf{b} ] = \left[ \, \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array} \, \right] \] A. 크래머 공식에 의해 \begin{align*} x_1 &= \frac{\det(A_{j}(\mathbf{b}))}{\det(A)} = \frac{\det\!\left( \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right)}{\det\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right)} = \frac{5}{-5} = -1, \\[2ex] x_2 &= \frac{\det(A_{j}(\mathbf{b}))}{\det(A)} = \frac{\det\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} \right)}{\det\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right)} = \frac{0}{-5} = 0, \\[2ex] x_3 &= \frac{\det(A_{j}(\mathbf{b}))}{\det(A)} = \frac{\det\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \right)}{\det\!\left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right)} = \frac{-5}{-5} = 1. \end{align*} 따라서 구하는 해는 $\mathbf{x} = (-1,\, 0,\, 1)$이다.$ $

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크래머 공식을 계산하기 위해서는 $n \times n$ 행렬의 행렬식 연산을 $n+1$번 수행해야 하므로 수치적인 측면에서는 선형연립방정식을 푸는 다른 방법들에 비해 매우 비효율적이다.

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