Tag: Banach-Tarski paradox

5. 증명(proof)

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$\mathcal{S}^2$ 위에서의 바나흐-타르스키 역설 이번에는 $\mathcal{S}^2-\mathcal{D}$에서 보였던 역설을 $\mathcal{S}^2$로 확장하는 작업을 해 보자. 이를 위해서는 집합 $\mathcal{D}$를 어떠한 방법을 통해서 무에서 생성해 내는 작업이 수반되어야 한다.   이 작업을 위해서는... Read more »

4. 하우스도르프 역설(Hausdorff Paradox)

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하우스도르프 역설(Hausdorff Paradox) 이제 바나흐-타르스키 역설의 약한 버전인 하우스도르프 역설(Hausdorff paradox)를 증명할 준비가 다 되었다. 이제 집합 $\mathcal{S}_2$ 위의 원소 $p$에 대하여 $p$에 대한 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$-궤도(orbit)를 아래와 같이 정의하자. \[... Read more »

3. $SO_3$ 위에서의 자유군

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군 $SO_3$ 위에서의 자유군 $\mathfrak{F}(\varphi,\, \psi)$ 이번에는 바나흐-타르스키 역설을 증명하기 위한 마지막 재료를 살펴보려고 한다. 먼저 3차원상의 구면 $\mathcal{S}^2$를 생각하자 \[ \mathcal{S}^2 := \set{(x,\,y,\,z) \in \R^3}{x^2 + y^2 + z^2... Read more »

2. 자유군(free group)

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$\mathfrak{F}(x,\,y)$를 생성원(generator) $x$, $y$에 의해 생성된 자유군(free group)이라 하자. 자유군 $\mathfrak{F}(x,\,y)$은 아래의 조건을 만족하는 문자 $x$, $y$, $x'$, $y'$의 나열들로 구성되어 있다. \[ xx' = x'x = yy' = y'y =... Read more »

1. 소개(Introduction)

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무한대(infinity)와 무한집합(infinite set) 수학에서 무한대(infinity)의 개념을 처음 접하면 우리의 기존 상식이 깨지는 경우가 빈번히 발생한다. 예를 들어 임의의 실수 \(x \in \mathbb{R}\)을 생각해 보자. 그러면 $x+1$은 언제나 원래의 수 $x$보다... Read more »