Category: Arithmetic

피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

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피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »

택시캡수(taxicab number)와 캡택시수(cabtaxi number)

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다음은 수학자 하디(G. H. Hardy)가 그의 제자 라마누잔(S. Ramanujan)의 병문안을 갔을 때의 일화이다. 1918년 2월, 입원 중이던 라마누잔의 병문안을 가시 위해서 하디가 탄 택시의 번호는 $1729$였다. 병원에 도착한 하디는 라마누잔에게... Read more »

짝수 완전수(perfect number)와 메르센 소수(Mersenne prime)

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완전수(perfect number) 정수론에서, 완전수(perfect number)란 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를 들어 $6$의 양의 약수는 $1,\,2,\,3,\,6$이고, $1 + 2 + 3... Read more »

오름차순 수(ascending number)와 내림차순 수(descending number) 사이의 관계

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$1$부터 $9$까지의 모든 수를 내림차순(descending order)으로 적은 수 $987654321$과 오름차순(ascending order)으로 적은 수 $123456789$를 비교해 보면, 처음 수가 나중 수의 대략 $8$배 가량 된다는 사실을 확인할 수 있다. 이 관계를... Read more »

'$2$의 거듭제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명

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예전에 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'라는 명제에 대한 두가지 증명을 올린 적이 있다. $ $ '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 증명 '소수의 제곱근은 유리수가 아니다'에 대한 또다른 증명 $ $ 이번에는... Read more »

사각삼각수(Square Triangular Number)

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삼각수(triangular number)란 어떠한 물체를 삼각형 모양으로 쌓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해서 필요한 물체의 총 개수가 되는 수를 말한다. 아래 그림은 첫 다섯개의 삼각수들을 보여준다.     비슷한 방법으로 사각수(square... Read more »

평균(mean)에 대하여 - 3. 더욱 일반화된 평균

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우리는 다양한 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 조화평균(harmonic mean), 이차평균(quadratic mean)등의 다양한 평균들의 정의와 이를 아우르는 멱평균(power mean)의 개념에 대해 알아보고, 젠센부등식(Jensen's inequality)을 이용하여 산술-기하-조화평균 부등식을 증명해 보았다. 이번시간에는 멱평균을 더욱... Read more »

평균(mean)에 대하여 - 2. 젠센부등식과 이를 이용한 증명들

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저번 포스트에서 다양한 방법으로 정의되는 평균들에 대한 소개와, 이를 한꺼번에 아우르는 멱평균(power mean)에 대해 살펴보았다. 또한 산술-기하-조화평균 부등식이라 불리우는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이에 성립하는 절대부등식을 소개하였다. \[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i}}{n} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_{i}} \leq... Read more »

평균(mean)에 대하여 - 1. 다양한 평균의 정의

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중고등학교 과정에서 평균을 구하는 다양한 방법에 대하여 배운다. 이 중 산술평균(arithmetic mean), 기하평균(geometric mean), 그리고 조화평균(harmonic mean)이 가장 흔히 접하고 또한 응용도 많이 되는 평균들인데, 이들 평균들 사이에 절대부등식이 성립한다.... Read more »