Category: Analysis

대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)에서 성립하는 동치 관계들

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이번 포스트에서는 주어진 $B : V \times V \to \R$가 대칭 이중선형형식(symmetric bilinear form)일 때 성립하는 동치 관계들에 대하여 알아보고자 한다. 먼저 다음 정의를 살펴보자. $ $ 정의 1. 이중선형형식... Read more »

두 주기함수(periodic function)의 합이 주기함수가 될 필요충분조건

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두 함수 $\sin(x)$와 $\sin(2x)$를 생각해 보자. 이 두 함수는 각각 주기가 $2\pi$와 $\pi$인 주기함수이고, 두 함수의 합인 $\sin(x) + \sin(2x)$ 또한 (주기가 $2\pi$인) 주기함수이다. 아래 그래프를 참고 하도록 하자. $... Read more »

오목함수(concave function)의 성질을 이용한 부등식의 증명

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주어진 실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$가 임의의 $x,\, y \in I$와 $\lambda \in [0,\, 1]$에 대하여 다음 부등식 \[ f((1-\lambda)x + \lambda y) \leq (1-\lambda)f(x) + \lambda... Read more »

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 2

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이번 글에서는 저번 글 피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1 에서 증명한 피보나치/루카스 수열과 삼각함수와의 관계를 다시 한 번 정리하면 다음과 같다: 임의의 음이 아닌 정수 $n \in... Read more »

피보나치(Fibonacci) 수열, 루카스(Lucas) 수열, 그리고 삼각함수 - 1

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피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 $F_{0} = 0$, $F_{1} = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$으로 정의된 대중적으로 가장 잘 알려진 수열 중 하나이다. 이 수열에 대한 성질에 대하여 몇 개의 글을... Read more »

평균값 정리(mean value theorem)의 다양한 변형

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평균값 정리(mean value theorem)는 두 점을 잇는 잘 정의된 곡선에 대하여, 이 곡선의 양 끝 점을 잇는 할선과 평행한 접선이 반드시 존재함을 알려 준다. 이 정리를 수학적으로 다시 적으면 다음과... Read more »

주어진 함수가 도함수(derivative)가 될 필요/충분 조건

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실함수 $f : I \subseteq \R \to \R$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 실함수 $F : I \to \R$가 존재하여, 모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = F'(x)$를 만족할 때, $f$를... Read more »

무한차원 벡터공간(vector space)의 기저(basis)

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일반적으로 $n$차원 벡터공간(vector space) $\R^n$의 표준기저(standard basis)를 다음과 같이 정의한다. \[ B_n = \{ e_1,\, e_2,\, \ldots,\, e_n \} \] 여기서 각각의 $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $e_i$는 $i$번째... Read more »

구데르만 함수(Gudermannian function)에 대하여

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삼각함수(trigonometric function)와 쌍곡함수(hyperbolic function)는 서로 밀접한 관계가 있는데, 이는 복소수를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \begin{align*} \sin(iz) &= i\sinh(z) & \sinh(iz) &= i\sin(z) \\[5px] \cos(iz) &= \cosh(z) &... Read more »