Category: Number Theorey

세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

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임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, $1$부터 $k$ 까지의 모든 정수를 각각 세제곱하여 더한 것은, 이 정수들을 모두 더한 뒤 제곱을 한 것과 같다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

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산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p'... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

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미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의... Read more »

분할(partition)에 대한 오일러의 정리(Euler's theorem)

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분할(partition)이란 주어진 양의 정수를 양의 정수들의 합으로 표현하는 방법을 연구하는 정수론 또는 조합론의 한 하위 분야이다. 양의 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 그러면 $n$에 대한 분할수(partition number) $p(n)$은 $n$을 양의 정수들의... Read more »

르장드르의 정리(Legendre's theorem)와 쿠머의 정리(Kummer's theorem)

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소수 $p$가 주어졌다고 하자. $0$이 아닌 임의의 정수 $n$에 대하여, $n$의 $p$진 값매김($p$-adic valuation)은 $\nu_{p}(n)$을 $p^{\nu}$가 $n$를 나누게 하는 양의 정수 $\nu$ 중 가장 큰 수로 정의한다. 또한 $\nu_{p}(0) =... Read more »

군론(group theory)를 이용한 정수론의 정리 증명

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정수론에서 합동(modular)의 개념을 정의하고 나서 바로 배우는 세 가지의 정리가 있다. 이들은 각각 페르마의 소정리(Fermat's little theorem), 오일러의 정리(Euler's theorem), 그리고 윌슨의 정리(Wilson's theorem)를 말하는데, 이 정리를 기반으로 합동식에 대한... Read more »

조화수(harmonic number)는 정수가 될 수 있을까?

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임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $n$번째 조화수(harmonic number) $H_n$을 다음과 같이 정의하자. \[ H_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \] 이 때, $n \to \infty$이면 수열 $(H_n)$이 양의 무한대로 발산함을 쉽게 증명할... Read more »

메르센 소수(Mersenne prime)의 목록

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최근(2018년 1월 3일) GIMPS 프로젝트(Great Internet Mersenne Prime Search project)로부터 50번째 메르센 소수(Mersenne prime)가 발견되었다는 소식이 들려왔다. 정수 $n$에 대하여 $M_n := 2^n - 1$의 형태를 갖는 수를 메르센 수(Mersenne number)라... Read more »

Schinzel의 정리 - $n$개의 격자점을 지나는 원의 존재성

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좌표평면에서 격자점(lattice point)이란 좌표 $(x,\, y)$가 모두 정수인 점을 뜻한다. 이제 양의 정수 $n$에 대하여 정확하게 $n$개의 격자점을 지나는 원을 생각해 보자. 우선 $n=1$인 경우 간단히 $(3x-1)^2 + 9y^2 =... Read more »