Category: Algebra

피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

      Comments Off on 피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 이용한 자연수의 분할

피보나치 수열(Fibonacci sequence) $F_n$은 다음과 같이 귀납적으로 정의되는 수열이다. \[ F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}\; (n \geq 2). \] 이제 피보나치 수열 $F_n$에... Read more »

응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산

      Comments Off on 응집 방법(condensation method)을 통한 행렬식 계산

주어진 $n \times n$ 정사각행렬 $A$의 행렬식(determinant)를 $\abs{A}$ 나타내기로 하자. 이번 글에서는 $2 \times 2$ 행렬의 행렬식을 구하는 계산만을 반복하여 $A$의 행렬식을 구하는 도지슨의 응집 방법(condensation method)에 대하여 알아볼 것이다.... Read more »

세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

      Comments Off on 세제곱의 합과 합의 제곱, 곱셈적함수(multiplicative function)

임의의 양의 정수 $k \in \N$에 대하여, $1$부터 $k$ 까지의 모든 정수를 각각 세제곱하여 더한 것은, 이 정수들을 모두 더한 뒤 제곱을 한 것과 같다는 사실이 잘 알려져 있다. 이를... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

      Comments Off on 산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 2. 유리수로의 확장

산술 도함수(arithmetic derivative) $(\cdot)' : \N \to \N_0$는 미분가능한 함수들에 대한 곱의 미분법(product rule)과 유사한 법칙을 만족하도록 양의 정수 위에서 정의된 다음 성질을 만족하는 함수이다. 임의의 소수 $p$에 대하여, $p'... Read more »

산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

      Comments Off on 산술 도함수(arithmetic derivative)에 대하여 - 1. 정의와 기본 성질

미분 가능한 함수 $f,\, g$에 대하여 곱의 미분법(product rule)은 다음과 같다. \[ (fg)' = f' \cdot g + f \cdot g' \] 함수가 아닌 양의 정수에 대해서도 위와 유사하게 곱의... Read more »

무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)

      Comments Off on 무리수를 보존하는 이항연산(binary operation)

짝수와 짝수의 합은 언제나 짝수이고 짝수와 홀수의 합은 언제나 홀수이다. 이와 비슷하게, 유리수와 유리수의 합은 언제나 유리수이지만 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수가 된다. 따라서 '짝수와 유리수가 무언가 유사한 수학적 구조를... Read more »

실수와 복소수 사이의 이상한 관계

      Comments Off on 실수와 복소수 사이의 이상한 관계

집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, $\R$은 $\C$의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, $\R$과 $\C$의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 $\R$과 $\C$를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게... Read more »

두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여

      Comments Off on 두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여

주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$ 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) =... Read more »

분할(partition)에 대한 오일러의 정리(Euler's theorem)

      Comments Off on 분할(partition)에 대한 오일러의 정리(Euler's theorem)

분할(partition)이란 주어진 양의 정수를 양의 정수들의 합으로 표현하는 방법을 연구하는 정수론 또는 조합론의 한 하위 분야이다. 양의 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 그러면 $n$에 대한 분할수(partition number) $p(n)$은 $n$을 양의 정수들의... Read more »

무한차원 벡터공간(vector space)의 기저(basis)

      Comments Off on 무한차원 벡터공간(vector space)의 기저(basis)

일반적으로 $n$차원 벡터공간(vector space) $\R^n$의 표준기저(standard basis)를 다음과 같이 정의한다. \[ B_n = \{ e_1,\, e_2,\, \ldots,\, e_n \} \] 여기서 각각의 $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $e_i$는 $i$번째... Read more »