Problems and Solutions #009

수열

(a_{n})

의

n

번째 항을 다음과 같이 정의하자.

a_{n}

은 왼쪽에서 오른쪽으로 세었을 때

n

개의

1

1

개의

0

, 다시

n

개의

8

, 마지막으로

1

개의

9

로 구성된 수이다. 예를 들어 수열

(a_{n})

의 첫

4

개의 항은 아래와 같다.

\begin{aligned} a_{1} & = 1089 \\ a_{2} & = 110889 \\ a_{3} & = 11108889 \\ a_{4} & = 1111088889 \end{aligned}

이때 수열 $(a_{n})$ 의 모든 항이 제곱수(perfect square)임을 증명하여라.

풀이. 우선 간단한 계산을 통해서

\begin{aligned} a_{1} & = 1089 = 33^{2} \\ a_{2} & = 110889 = 333^{2} \\ a_{3} & = 11108889 = 3333^{2} \\ a_{4} & = 1111088889 = 33333^{2} \end{aligned}

임을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 임의의 $n$ 에 대하여 $a_{n}$ 이 제곱수임을 증명해 보자. 수열 $(a_{n})$ 의 일반항은

a_{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{111 \dots 1}} 0 \underset{n}{\underset{⏟}{888 \dots 8}} 9

로 주어진다. 이를 급수 표현을 이용하여 다시 나타내면,

\begin{aligned} a_{n} & = 9 + 8 \sum_{k = 1}^{n + 1} 10^{k} + \sum_{k = n + 2}^{2 n + 1} 10^{k} \\ = 9 + 80 \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} + 10^{n + 2} \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} \\ = \frac{1}{9} [81 + 80 (10^{n} - 1) + 10^{n + 2} (10^{n} - 1)] \\ = \frac{1}{9} [10^{2 n + 2} - 2 \cdot 10^{n + 1} + 1] \\ = {(\frac{10^{n + 1} - 1}{3})}^{2} . \end{aligned}

따라서 수열 $(a_{n})$ 의 모든 항은 제곱수임을 알 수 있다..

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