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풀이. 리스트에서 뽑은 두개의 숫자를 $a$, $b$라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.
\[ (a+1)(b+1) = ab + a + b + 1 \]
즉, $a$, $b$를 $ab + a + b$로 바꾸더라도, 리스트에 적힌 숫자들에 각각 $1$을 더하여 모두 곱해준 값은 변하지 않는다. 따라서 최종적으로 남은 숫자를 $N$이라 하면,
\[ N + 1 = (1+1)(2+1)(3+1)(4+1)(5+1) = 720 \]
따라서 $N$은 언제나 $719$가 됨을 알 수 있다.
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이제 위 사실을 $1$부터 $100$까지의 숫자가 적힌 리스트에 적용해보자. 최종적으로 남은 숫자를 $N$이라 하면, 이 숫자는 언제나
\[ N = \prod_{n=1}^{100}(n+1) - 1= 101! - 1 \]
이 된다.
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좀 더 일반적으로 $a_1$부터 $a_k$까지 $k$개의 숫자가 적힌 리스트가 있을때, 문제에 서술되어 있는 과정을 $(k-1)$회 반복하여 최종적으로 남는 숫자 $N$의 값은
\[ N = \prod_{n=1}^{k}(a_n+1) - 1 \]
로 주어진다..