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풀이. 첫번째 식을 정리하면 $z = 15 - x - y$를 얻는데, 이를 다시 두번째 식에 대입하여 정리하면
\begin{align*} & xy + y(15 - x - y) + (15 - x - y)x = 72 \\[6px] & \qquad \implies xy + 15y - xy - y^2 + 15x - x^2 - xy = 72 \\[6px] & \qquad \implies x^2 + xy + y^2 - 15x - 15y + 72 = 0 \end{align*}
를 얻는다. 이제 함수 $f(x) := x^2 + xy + y^2 - 15x - 15y + 72$를 정의하자. 방정식 $f(x) = 0$은 원뿔곡선(conic section)의 방정식 중의 하나이고, 판별식(discriminant)을 생각해 보면
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \]
이 되어 $f(x) = 0$는 타원의 방정식이 됨을 알 수 있다. 이제 이 타원 위의 점 $(x,\,y)$에 대하여 $x$의 최솟값과 최댓값은 $y$축에 평행한 직선과 타원이 서로 접할 때, 다시 말해 $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$일 때, 발생한다. 따라서
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - 15 = 0 \implies 2y = 15 - x. \]
위 식을 다시 $f(x) = 0$에 대입하여 정리하면,
\begin{align*} 4f(x) &= 4x^2 + 4xy + (2y)^2 - 60x - 60y + 288 \\[6px] &= 4x^2 + 2x(15-x) + (15-x)^2 - 60x - 30(15-x) + 288 \\[6px] &= 4x^2 + 30x - 2x^2 + 225 - 30x + x^2 - 60x - 450 + 30x + 288 \\[6px] &= 3x^2 - 30x + 63 \\[6px] &= 3(x-3)(x-7) \\[6px] &= 0. \end{align*}
따라서 $m=3$, $M = 7$을 얻고 문제의 답은 $m+M = 10$임을 알 수 있다..