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풀이 1. 우선 $a_k = \cos^2 \theta_k$라 하자. 그러면 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $0 \leq a_k \leq 1$이 성립한다. 주어진 부등식은 아래 부등식과 동치이다.
\[ \prod_{k=1}^{n} a_k \geq \sum_{k=1}^{n} a_k + 1 - n \]
이제 위 부등식을 수학적 귀납법을 이용하여 증명해 보자. 먼저 $n=1$인 경우 부등식이 성립한다. 또한
\begin{align*} \prod_{k=1}^{n+1} a_k &= a_{n+1} \prod_{k=1}^{n} a_k \\[5px] &\geq a_{n+1} \left( \sum_{k=1}^{n} a_k + 1 - n \right) \\[5px] &= a_{n+1} \left( \sum_{k=1}^{n} a_k - n \right) + a_{n+1} \\[5px] &\geq \sum_{k=1}^{n} a_k - n + a_{n+1} \\[5px] &\geq \sum_{k=1}^{n+1} a_k - (n+1) + 1 \end{align*}
위 식에서 두번째 부등식은 $0 \leq a_k \leq 1$이므로 $ \sum_{k=1}^{n} a_k \leq n$이라는 사실을 이용하였다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 주어진 부등식이 성립한다..
풀이 2. 우선 $a_k = \cos^2 \theta_k$라 하자. 그러면 모든 $1 \leq k \leq n$에 대하여 $0 \leq a_k \leq 1$이 성립한다. 이제 다음과 같이 집합
\[ S = \set{a \in \R^n}{0 \leq a_i \leq 1} \]
을 정의하고 함수 $f : S \to \R$을 다음과 같이 정의한다.
\[ f(a) = \prod_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k \]
이제 임의의 $i = 1,\,2,\, \ldots,\, n$에 대하여 $f$의 편도함수를 구해보면,
\[ \partial f_i(a) = \prod_{k \neq i} a_k - 1 \leq 0 \]
따라서 이 함수는 모든 방향에서 감소하는 함수이고 특히 $\bar{a} = (1,\,1,\, \ldots,\, 1) \in S$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 임의의 $a \in S$에 대하여
\[ f(a) \geq \min_{a \in S} f(a) = f(\bar{a}) = 1 - n \]
따라서 주어진 부등식이 성립한다..