반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)

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반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, $n \times n$ 실행렬 $A$에 대하여 $A^{\T}= -A$가 성립할 때, $A$를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 $A$에 대하여 $a_{ij}$를 행렬 $A$의 $(i,\,j)$-원소라 하면 다음을 얻는다.

\[ a_{ij} = -a_{ji} \quad \forall\; i,\, j \in \{1,\,2,\,\ldots,\, n\} \tag*{$(\ast)$} \]

예를 들어 다음의 행렬들은 모두 반대칭행렬의 예들이다.

\[ \left[ \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] , \quad \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right], \quad \left[ \begin{array}{rrrr} 0 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \right] \]

위의 예들을 보면 알 수 있듯이, 반대칭행렬의 대각원소들은 모두 $0$이어야 함을 알 수 있다. 이는 $(\ast)$에서 $i = j$인 경우, 임의의 $i$에 대하여 $a_{ii} = -a_{ii}$므로 $a_{ii} = 0$이어야 한다는 사실로부터 알 수 있다.

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반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)

이제 $n \times n$ 반대칭행렬 $A$가 주어졌을 때, $A$의 행렬식(determinant) $\det(A)$에 대해 생각해 보자. 이는 $n$의 홀짝성에 따라서 두가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.

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정리. [야코비(Jocobi), 1827]

홀수인 $n$에 대하여, $n \times n$ 행렬 $A$가 반대칭행렬이라 하자. 그러면 $\det(A) = 0$이다.

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증명. $n = 2k-1$라 하자. 그러면 행렬식의 성질에 의해

\[ \det(A) = \det(-A^{\T}) = (-1)^{n}\det(A^{\T}) = (-1)^{2k-1}\det(A^{\T}) = -\det(A) \]

따라서 $\det(A) = 0$임을 알 수 있다..

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정리. [케일리(Caley), 1845]

짝수인 $n$에 대하여, $n \times n$ 행렬 $A$가 반대칭행렬이라 하자. 그러면 $\det(A) \geq 0$이다.

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증명. $n = 2k$라 하자. 또한 $\lambda$가 $A$의 한 고윳값(eigenvalue)이라 하자. 그러면 고유벡터(eigenvector) $\mathbb{x} \neq 0$이 존재하여 $A\mathbb{x} = \lambda\mathbb{x}$가 성립한다. 이를 이용하면

\[ \ip{A\mathbb{x}}{\mathbb{x}} = \ip{\lambda\mathbb{x}}{\mathbb{x}} = \lambda \norm{\mathbb{x}}^2 \]

를 얻는다. 한 편, $A = -A^{\T}$이므로

\[ \ip{A\mathbb{x}}{\mathbb{x}} = \ip{-A^{\T}\mathbb{x}}{\mathbb{x}} = -\ip{\mathbb{x}}{A\mathbb{x}} = -\ip{\mathbb{x}}{\lambda\mathbb{x}} = -\overline{\lambda} \norm{\mathbb{x}}^2 \]

따라서 $\lambda = -\overline{\lambda}$임을 알 수 있다. 이제 적당한 두 실수 $a,\, b \in \R$에 대해, $\lambda = a + bi$로 나타내면,

\[ \lambda = -\overline{\lambda} \quad \implies \quad a + bi = -(\overline{a + bi}) = -a + bi \]

이므로 $a=0$이여야만 하고 $\lambda = bi$, 즉, $A$의 모든 고윳값은 순허수(pure imaginary number)로 주어짐을 뜻한다. 한편 $A$는 실행렬이므로, 만약 허수 $\lambda$를 고윳값으로 가진다면 $\lambda$의 켤레(conjugate) $\overline{\lambda}$ 또한 $A$의 고윳값이 된다. 따라서 $A$의 모든 고윳값들의 집합을

\[ \{ \lambda_1,\, \overline{\lambda}_1,\, \lambda_2,\, \overline{\lambda}_2,\, \ldots,\, \lambda_k,\, \overline{\lambda}_k \} \]

로 나타낼 수 있다. 이제 각각의 $j$에 대하여 $\lambda_j$는 순허수이므로 $\lambda_j = b_ji$로 나타낼 수 있다. 그러면

\[ \det(A) = \prod_{j=1}^{k} \lambda_j \overline{\lambda}_j = \prod_{j=1}^{k} (b_ji)(-b_ji) = \prod_{j=1}^{k} b_j^2 \geq 0 \]

따라서 $\det(A) \geq 0$을 얻는다..