정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱

정사각행렬_{(square matrix)}sub> $A$ 에 대하여 행렬의 거듭제곱을 정의할 수 있다. 예를 들어 $3 \times 3$ 행렬 $A$ 가

A = [\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]

와 같이 주어졌다고 하자. 그러면

A^{2} = [\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 5 & - 1 & 7 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}]

와 같이 직접 계산을 통해 구할 수 있다. 하지만 충분히 큰 양의 정수 $n$ 에 대하여 $A^{n}$ 을 직접 구해야 하는 상황이라면 어떻게 해야 할까?

$A^{n}$ 을 구하는 직접적인 방법 중 하나는, 실제로 $A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, \dots$ 를 직접 구해 나가면서 행렬 $A^{n}$ 의 원소가 갖는 패턴을 발견해 내는 것이다. 실제로 위 행렬 $A$ 부터 시작하여 계속 곱해 보면,

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}], & A^{2} & = [\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 5 & - 1 & 7 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}], & A^{3} & = [\begin{array}{rrr} 7 & 1 & 5 \\ 9 & - 1 & 11 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}], \\ A^{4} & = [\begin{array}{rrr} 15 & 1 & 13 \\ 17 & - 1 & 19 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}], & A^{5} & = [\begin{array}{rrr} 31 & 1 & 29 \\ 33 & - 1 & 35 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}], & A^{6} & = [\begin{array}{rrr} 63 & 1 & 61 \\ 65 & - 1 & 67 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}

를 얻는다. 따라서 일반적으로 $A^{n}$ 은

\begin{matrix} (*) & A^{n} = [\begin{array}{crc} 2^{n} - 1 & 1 & 2^{n} - 3 \\ 2^{n} + 1 & - 1 & 2^{n} + 3 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] \end{matrix}

이 될 것이라 짐작할 수 있다. 이 사실을 수학적 귀납법을 이용해 증명해 보자. 우선 $n = 1$ 일 때는 자명하고,

\begin{aligned} A^{n + 1} = A^{n} A & = [\begin{array}{crc} 2^{n} - 1 & 1 & 2^{n} - 3 \\ 2^{n} + 1 & - 1 & 2^{n} + 3 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{rrr} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 5 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{crc} 2^{n + 1} - 1 & 1 & 2^{n + 1} - 3 \\ 2^{n + 1} + 1 & - 1 & 2^{n + 1} + 3 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}

이므로 수학적 귀납법에 의해 $(*)$ 가 성립한다.

위 행렬 $A$ 의 경우, 상대적으로 $A^{n}$ 의 각 원소가 가지는 패턴을 발견하기 쉬웠지만, 일반적인 경우 패턴을 발견하는게 간단한 일은 아니다. 하지만 만약 행렬 $A$ 가 대각화 가능 행렬_{(diagonalizable matrix)}이라면, $A$ 를 먼저 대각화 한 후에 행렬의 연산 법칙을 이용하여 $A^{n}$ 을 비교적 쉽게 구할 수 있다.

예제 1. 위의 행렬 $A$ 에 대하여 생각해 보자. $A$ 는 서로 다른 고윳값(eigenvalue) $0, 1, 2$ 를 가지므로 대각화 가능하다. 실제로 $A$ 를 대각화 해보면

A = P D P^{- 1}, where P = [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array}], D = [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]

를 얻는다. 그러므로

\begin{aligned} A^{n} = (P D P^{- 1})^{n} & = P D^{n} P^{- 1} \\ = [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n} \end{array}] [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{crc} 2^{n} - 1 & 1 & 2^{n} - 3 \\ 2^{n} + 1 & - 1 & 2^{n} + 3 \\ 1 & - 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}

따라서 $A^{n}$ 을 얻는다..

위 방법은 주어진 행렬이 대각화 가능하지 않으면 적용이 불가능하다. 일반적으로 $n \times n$ 행렬이 서로 다른 $n$ 개의 고윳값을 가지지 않는다면, 그 행렬은 대각화 가능하지 않을 수도 있다. (물론 서로 다른 $n$ 개의 고윳값을 가지지 않는다고 해서 언제나 대각화가 불가능 한 것은 아니다.) 하지만, 만약 주어진 행렬이 단 하나의 서로 다른 고윳값을 갖는 경우, 멱영행렬_{(nilpotent matrix)}의 성질을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있는 방법이 있다. 자세한 내용은 다음 링크에서 확인할 수 있다.

멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계

위 사실을 바탕으로 다음 예를 살펴보자.

예제 2. $3 \times 3$ 행렬 $B$ 를 다음과 같이 정의하자.

B = [\begin{array}{crc} 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 4 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]

위 행렬 $B$ 의 경우 $2$ 를 유일한 고윳값으로 갖는다. 따라서 $B - 2 I$ 는 멱영행렬이고 특히 $(B - 2 I)^{3} = O$ 이 성립한다. 따라서

\begin{aligned} B^{n} & = (2 I + B - 2 I)^{n} \\ = 2^{n} I + n 2^{n - 1} (B - 2 I) + \frac{n (n - 1)}{2} 2^{n - 2} (B - 2 I)^{2} + \underset{= O}{\underset{⏟}{(B - 2 I)^{3} X}} \\ = 2^{n} [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] + n 2^{n - 1} [\begin{array}{rrr} 0 & - 1 & 2 \\ - 1 & 2 & - 5 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array}] + \frac{n (n - 1)}{2} 2^{n - 2} [\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ - 2 & 0 & - 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{ccc} 2^{n} + n (n - 1) 2^{n - 3} & - n 2^{n - 1} & 2 n 2^{n - 1} + n (n - 1) 2^{n - 3} \\ - n 2^{n - 1} - 2 n (n - 1) 2^{n - 3} & 2^{n} + 2 n 2^{n - 1} & - 5 n 2^{n - 1} - 2 n (n - 1) 2^{n - 3} \\ - n (n - 1) 2^{n - 3} & n 2^{n - 1} & 2^{n} - 2 n 2^{n - 1} - n (n - 1) 2^{n - 3} \end{array}] \end{aligned}

를 얻는다. (위에 주어진 $B^{n}$ 의 형태를 보면 알 수 있듯이, $B^{n}$ 을 각각의 원소의 패턴을 발견하여 구하는 것은 거의 불가능에 가까울 것이다.).

사실 $n \times n$ 정사각행렬들 중 대부분이 대각화 가능하기 때문에 (좀 더 자세히 설명하자면, $n \times n$ 정사각 행렬들의 집합 $M_{n} (C)$ 에 대하여, 대각화가 불가능한 $n \times n$ 행렬들의 부분집합은 르벡 측도_{(Legesgue measure)} $0$ 을 갖는다.) 대부분의 경우는 예제 1과 같이 주어진 행렬의 대각화를 통해서 행렬의 거듭제곱을 간단히 구할 수 있다. 하지만 예외적인 경우로 주어진 $n \times n$ 행렬 $A$ 의 대각화가 불가능한 경우를 생각해 보자. 이 경우에는, 어떤 정사각행렬이든지 (복소수 범위에서) 적어도 조르당 분해_{(Jordan decomposition)}가 가능하다는 사실을 이용하여, 여전히 행렬의 거듭제곱을 구하는 것이 가능하다.

이제 $A = P J P^{- 1}$ 가 $A$ 의 조르당 분해라 가정하자. 즉, $J$ 는 $A$ 의 조르당 표준형_{(Jordan normal form)}이고 $P$ 는 가역행렬이다. 그러면 $A$ 의 거듭제곱은

A^{k} = (P J P^{- 1})^{k} = P J^{k} P^{- 1}

과 같으므로, $J^{k}$ 을 계산할 수 있으면 $A^{k}$ 또한 어렵지 않게 계산할 수 있다. 먼저 임의의 조르당 행렬_{(Jordan matrix)} $J$ 에 대하여 $J^{k}$ 를 구하는 방법에 대해 살펴 보자.

$n \times n$ 행렬 $J$ 가 다음과 같이 블록 대각행렬_{(block diagonal matrix)}의 형태로 주어질 때, $J$ 를 조르당 행렬이라 한다.

J = J_{n_{1}} (λ_{1}) \oplus J_{n_{2}} (λ_{2}) \oplus \dots \oplus J_{n_{m}} (λ_{m})

이 때, 각각의 $i = 1, 2, \dots, m$ 에 대하여 $J_{n_{i}} (λ_{i})$ 를 $λ_{i}$ 에 대한 조르당 블록_{(Jordan block)}이라 부르는데, 이는 다음과 같이 주어지는 $n_{i} \times n_{i}$ 상삼각행렬_{(upper triangular matrix)}이다.

J_{i} (λ_{i}) = [\begin{array}{ccccc} λ_{i} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{i} & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ_{i} \end{array}]

단, $n_{1} + n_{2} + \dots + n_{m} = n$ 이고, 모든 $i \neq j$ 에 대하여 $λ_{i} \neq λ_{j}$ 가 성립한다.

보조정리.

$n \times n$ 조르당 블록 $J_{n} (λ)$ 와 임의의 양의 정수 $k$ 에 대하여 다음이 성립한다.

J_{n} (λ)^{k} = [\begin{array}{ccccc} (\binom{k}{0}) λ^{k} & (\binom{k}{1}) λ^{k - 1} & (\binom{k}{2}) λ^{k - 2} & \dots & (\binom{k}{n - 1}) λ^{k - n + 1} \\ 0 & (\binom{k}{0}) λ^{k} & (\binom{k}{1}) λ^{k - 1} & \dots & (\binom{k}{n - 2}) λ_{k}^{k - n + 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & (\binom{k}{0}) λ^{k} \end{array}]

증명. $k$ 에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 보일 수 있다..

참고. 위 보조정리는 다음과 같이 확장할 수 있다: $f : R \to R$ 가 실해석함수_{(real analytic function)}이라 하자. 그러면 임의의 $n \times n$ 조르당 블록 $J_{n} (λ)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

f (J_{n} (λ)) = [\begin{array}{ccccc} \frac{f (λ)}{0!} & \frac{f^{'} (λ)}{1!} & \frac{f^{″} (λ)}{2!} & \dots & \frac{f^{(n - 1)} (λ)}{(n - 1)!} \\ 0 & \frac{f (λ)}{0!} & \frac{f^{'} (λ)}{1!} & \dots & \frac{f^{(n - 2)} (λ)}{(n - 2)!} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \frac{f (λ)}{0!} \end{array}]

그러면 위 보조정리는 $f (x) = x^{k}$ 인 특수한 경우임 또한 확인할 수 있다.

정리.

$n \times n$ 조르당 행렬 $J$ 가

J = J_{n_{1}} (λ_{1}) \oplus J_{n_{2}} (λ_{2}) \oplus \dots \oplus J_{n_{m}} (λ_{m})

와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 양의 정수 $k$ 에 대하여 다음이 성립한다.

J^{k} = J_{n_{1}} (λ_{1})^{k} \oplus J_{n_{2}} (λ_{2})^{k} \oplus \dots \oplus J_{n_{m}} (λ_{m})^{k}

증명. 블록 대각 행렬의 성질과 보조정리에 의해 성립한다..

위 정리를 이용하여, 실제로 주어진 행렬이 대각화가 불가능한 경우, 조르당 분해를 이용하여 그 행렬의 거듭제곱을 구하는 방법을 살펴보면 다음과 같다.

예제 3. $3 \times 3$ 행렬 $C$ 를 다음과 같이 정의하자.

B = [\begin{array}{crc} 2 & - 1 & 2 \\ - 3 & 4 & - 7 \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array}]

위 행렬 $C$ 는 $2$ 와 $1$ 을 고윳값으로 가지며, 이 때, 고윳값 $2$ 의 대수적 중복도_{(algebraic multiplicity)}는 $2$ 인 반면, 기하적 중복도_{(geometric multiplicity)}는 $1$ 이므로 $C$ 는 대각화가 불가능하다. 대신 $C$ 의 조르당 분해를 구해보면

C = P J P^{- 1}, where P = [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array}], J = [\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

를 얻는다. 한 편, $J^{n}$ 은

J^{n} = [\begin{array}{rrr} 2^{n} & n 2^{n - 1} & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

로 주어짐을 알 수 있다. 따라서

\begin{aligned} C^{n} = (P J P^{- 1})^{n} & = P J^{n} P^{- 1} \\ = [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{rrr} 2^{n} & n 2^{n - 1} & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{rrr} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{crc} 1 + n 2^{n - 1} & - n 2^{n - 1} & 1 + (3 n - 2) 2^{n - 1} \\ 1 - (n + 1) 2^{n} & (n + 1) 2^{n} & 1 - (3 n + 1) 2^{n} \\ - n 2^{n - 1} & n 2^{n - 1} & - (3 n - 2) 2^{n - 1} \end{array}] \end{aligned}

따라서 $C^{n}$ 을 얻는다..

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정사각행렬(square matrix)의 거듭제곱