체(field) $\mathbb{F}$ 위에서의 벡터공간(real vector space) $(\mathcal{V},\, +,\, \cdot\,)$이란 집합 $\mathcal{V}$와 함께 벡터합(vector addition)이라 불리는 연산 $+ : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(x,\,y) \mapsto x+y$와 스칼라곱(scalar multiplication)이라 불리는 연산 $\,\cdot\, : \mathbb{F} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(\lambda,\,x) \mapsto \lambda x$이 정의 되어 아래의 8가지 공리를 만족하는 공간을 말한다.
(A1) 모든 $x,\,y,\,z \in \mathcal{V}$에 대하여, $(x+y)+z = x+(y+z)$.
(A2) 모든 $x,\,y \in \mathcal{V}$에 대하여, $x +y = y+x$.
(A3) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $x+e = x$를 만족하는 원소 $e \in \mathcal{V}$가 존재한다.
(A4) 임의의 $x \in \mathcal{V}$에 대하여 $x' \in \mathcal{V}$가 존재하여, $x + (x') = e$를 만족한다.
(M1) 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x$.
(M2) 모든 $\lambda \in \mathbb{R}$과 $x,\,y \in \mathcal{V}$에 대하여, $\lambda(x+y) = \lambda x + \lambda y$.
(M3) 모든 $\lambda,\, \mu \in \mathbb{R}$과 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$.
(M4) 모든 $x \in \mathcal{V}$에 대하여, $1x = x$.
여기서 공리 (A2), 즉, 두 벡터의 합에 관한 교환법칙(commutativity law)는 사실 다른 7개의 공리로부터 '증명'이 가능하다. 이 증명 과정을 간단히 한번 살펴보자. 먼저 다음의 보조정리들이 필요하다.
증명. $x + x' = e$을 가정하면, $x' \in \mathcal{V}$이므로 역원 $x''$이 존재하여 $x' + x'' = e$이 성립한다. 따라서
그러므로 $x' + x = e$를 얻는다..
증명. 먼저 (A3)에 의해, $x + e = x$를 만족하는 $e \in \mathcal{V}$가 존재한다. 이제, (L1)을 이용하면,
따라서 $e + x = x$가 성립한다..
증명. 두 원소 $x'_1 \in \mathcal{V}$과 $x'_2 \in \mathcal{V}$가 모두 $x \in \mathcal{V}$의 역원이라 가정하자. 그러면 $x + x'_1 = e = x + x'_2$가 성립한다. 이제 이 식의 양변의 왼쪽에 $x'_1$을 더해주고 (L1)과 (L2)를 적용하면,
따라서 $x$는 유일한 역원을 갖는다..
증명. 먼저 $0x = (0+0)x \stackrel{\text{(M3)}}{=} 0x + 0x$를 얻는다. 이제 이 식의 양 변에 $0x$의 역원 $(0x)'$를 더해주면
따라서 $0x = e$가 성립한다..
증명. $(-1)x$가 $x$의 역원임을 보이기 위하여, (L4)를 이용하면
따라서 $(-1)x$은 $x$의 역원이 된다. 하지만 (L3)에 의해 $x$의 역원은 유일하므로, $x' = (-1)x$여야만 한다..
증명. 먼저 $x = y$를 가정하자. 그러면 간단히 $x + y' = x + x' \stackrel{\text{(A4)}}{=} e$를 얻는다.
이제 반대로 $x + y' = e$을 가정하자. 이 식의 양변의 오른쪽에 $y$를 더해주면 $(x + y') + y = e + y \stackrel{\text{(A3)}}{=} y$를 얻는다. 이제 보조정리 1 을 이용하면,
따라서 $x = y$를 얻는다..
이제 위 보조정리들을 바탕으로 최종 목표인 교환법칙을 직접 증명해보자.
증명. 우선 (L6)에 의하여, $(x +y) + (y+x)' = e$임을 보이면 충분하다. 이제, (L5)에 의해
이제 (L6)을 적용하면, $x +y = y+x$를 얻는다..