풀이. $\lambda (A)=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\in {\mathbb{R}}^n$가 행렬 $A$의 고윳값_(eigenvalue) 벡터라 하자. $A$가 가역행렬이므로 모든 $i\in [n]$에 대하여 ${\lambda }_i\ne 0$이고, $\lambda (A^2)=({\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,\dots ,{\lambda }_n^2)$가 성립한다. 또한 $$\begin{array}{rl}⟨\lambda (A),\lambda (A^2)⟩& =\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^3=\mathrm{tr}(A^3)\\ ⟨\phantom{{}^2}\lambda (A),\lambda (A)⟩& =\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2=\mathrm{tr}(A^2)\\ ⟨\lambda (A^2),\lambda (A^2)⟩& =\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^4=\mathrm{tr}(A^4)\end{array}$$ 그러므로 ${\left|⟨\lambda (A),\lambda (A^2)⟩\right|}^2=⟨\phantom{{}^2}\lambda (A),\lambda (A)⟩⟨\lambda (A^2),\lambda (A^2)⟩$가 성립함을 알 수 있다. 따라서 코시-슈바르츠 부등식_{(Cauchy-Schwarz inequality)}의 등호조건에 의해 $k\lambda (A)=\lambda (A^2)$가 성립한다. 즉, 각각의 $i\in [n]$에 대하여 $k{\lambda }_i={\lambda }_i^2$이고 (문제의 조건에 의해) ${\lambda }_i\ne 0$이므로, ${\lambda }_i=k$임을 알 수 있다.

$$

한편, 조건 $\mathrm{tr}(A^2)=\mathrm{tr}(A^3)=\mathrm{tr}(A^4)$에서 $$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^3=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^4⟹n{k}^2=n{k}^3=n{k}^4$$ 이 성립하므로, $k=1$이어야만 한다. (만약 $k=0$인 경우, $k{\lambda }_i={\lambda }_i^2$로부터 ${\lambda }_i^2=0$이 되어 ${\lambda }_i\ne 0$이라는 사실에 모순이다.) 그러므로 $\mathrm{tr}(A)=n$임을 알 수 있다.$$