지수함수(exponential function) 를 정의하는 방법은 여러가지가 있다. 이 중에서 가장 대표적으로 쓰이는 몇 가지를 나열해 보면 다음과 같다.
정의. 지수함수(exponential function)지수함수 $\exp(x)$는 아래중 하나의 방법으로 정의한다.
$\exp(x)$를 아래와 같이 무한합(infinite series) 으로 정의한다.
\[ \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots. \]
$\exp(x)$를 아래와 같이 극한(limit) 을 이용하여 정의한다.
\[ \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n} = \lim_{h \to 0} \left( 1 + hx \right)^{1/h}. \]
다음과 같이 로그함수
\[ \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,\,\mathrm{d}t \]
를 정의하자. 이 함수는 $(0,\,\infty)$에서 단조증가(strictly increasing) 이므로 역함수가 존재한다. 이 때, 이 역함수를 $\exp(x)$로 정의한다.
$\exp(x)$는 다음의 미분방정식(ordinary differential equation) 을 만족하는 유일한 해이다.
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y, \quad y(0) = 1. \tag*{$(\ast)$}\]
이제 위의 네가지 서로 다른 방법으로 정의한 지수함수가 사실 모두 하나의 함수를 표현하고 있음을 증명할 것이다. 증명은 여려가지 방법이 있지만 여기서는 미분방정식의 해의 유일성을 이용하여 증명을 하고자 한다. 즉, 정의 (1), (2), (3)에 의해 정의된 함수를 각각 $\exp_1(x)$, $\exp_2(x)$, $\exp_3(x)$라 하고 이 함수들이 모두 미분방정식 $(\ast)$를 만족함을 보인다. 그러면 미분방정식 $(\ast)$의 해의 유일성(uniqueness) 에 의하여 $\exp_1(x) = \exp_2(x) = \exp_3(x) = \exp(x)$가 되어 증명이 완료된다. 좀 더 자세한 증명 과정은 아래와 같다.
증명. 먼저 $\exp_1(x)$가 미분방정식 $(\ast)$을 만족함을 보이자.
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp_1(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\, \right] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \frac{x^k}{k!}\, \right] \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k x^{k-1}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} = \exp_1(x). \end{aligned} \]
또한 초기조건 $\exp_1(0) = 1$도 만족한다. 따라서 $\exp_1(x)$는 미분방정식 $(\ast)$의 해이다.
이제 $\exp_2(x)$가 미분방정식 $(\ast)$의 해임을 보이자. 먼저
\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp_2(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} n \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n-1} \frac{1}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n-1} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n}\, \right)^{n} \Big( \frac{n}{n+x}\, \Big) = \exp_2(x). \end{aligned} \]
초기조건 $\exp_2(0) = 1$ 또한 만족하므로 $\exp_2(x)$는 미분방정식 $(\ast)$의 해이다.
마지막으로 $\exp_3(x)$가 미분방정식 $(\ast)$의 해임을 보이자. 우선 $\exp_3$는 $\ln$의 역함수이므로
\[ y = \exp_3(x) \Leftrightarrow x = \ln(y) \]
가 성립한다. 이제 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus) 에 의하여 $[\ln(y)]' = \frac{1}{y}$임을 간단히 알 수 있고, 여기에 역함수의 미분법을 이용하면
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{[\ln(y)]'} = \frac{1}{1/y} = y. \]
따라서 $\exp_3(x)$는 미분방정식 $(\ast)$를 만족함을 알 수 있다. 또한 $\ln(1) = 0$이라는 사실로부터 초기조건 $\exp_3(0) = 1$ 또한 만족함을 알 수 있다.
결과적으로 함수 $\exp_1(x)$, $\exp_2(x)$, $\exp_3(x)$는 모두 미분방정식 $(\ast)$의 해임을 알 수 있고, 미분방정식 해의 유일성에 의하여 $\exp_1(x) = \exp_2(x) = \exp_3(x) = \exp(x)$가 된다..
위 정의에 대한 따름정리로써 오일러 상수(Euler constant) $e$에 대한 동치인 정의들을 얻을 수 있다.
정의. 오일러 상수(Euler constant)오일러 상수 $e$는 아래중 하나의 방법으로 정의한다.
$e$는 아래 무한합과 같다.
\[ \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots. \]
$e$를 극한을 이용하여 아래와 같이 정의한다.
\[ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n}\, \right)^{n} = \lim_{h \to 0} \left( 1 + h \right)^{1/h}. \]
$e$는 아래의 식을 만족하는 유일한 해이다.
\[ \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,\,\mathrm{d}t = 1. \]
※ 오일러 상수에 관한 추가적인 사실들은 http://jjycjnmath.tistory.com/19 에서 확인해 볼 수 있다.