원주율 파이는 무한소수이기 때문에 컴퓨터를 이용하여 그 값을 근사적으로 구해야만 한다. 특히, 원주율의 계산은 슈퍼컴퓨터의 연산 성능을 측정하는 기준의 하나로 쓰이기도 한다. 원주율 값은 보통 무한급수의 합으로 주어지는데, 이번 포스트에서는 마친(John Machin)에 의해 1706년에 발견된 다음의 공식에 대해 알아보고자 한다.
\[ \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}. \]
위 공식과 역탄젠트 함수의 급수 표현을 이용하면 원주율로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻을 수 있다. 우선 다음의 식을 간단한 방법으로 증명해 보도록 하자.
먼저 $\tan \alpha = \frac{1}{5}$를 만족하는 각도 $\alpha$를 생각하자. 여기서 탄젠트 함수의 배각공식(Double angle formula)을 반복 적용하면 다음을 얻는다.
\[ \tan 2\alpha =\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{5}{12}, \]
\[ \tan 4\alpha =\frac{2 \tan 2\alpha}{1- \tan^2 2\alpha} = \frac{120}{119}. \]
여기서 $\frac{120}{119} \approx 1$ 이므로, $4\alpha \approx \frac{\pi}{4}$일 것이라 생각할 수 있다. 그 오차를 $\beta$라 하면 (즉, $\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$) 탄젠트에 대한 덧셈공식을 이용하여 다음을 얻을 수 있다.
\[ \tan \beta = \tan \left( 4\alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan 4\alpha + \tan(-\frac{\pi}{4})}{1 - \tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{239}. \]
따라서 역탄젠트 함수를 이용하면,
\[ \frac{\pi}{4} = 4\alpha - \beta = 4\arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} \]
가 되어 주어진 공식을 얻어 낼 수 있다.
이 증명에 사용된 아이디어를 이용하여 (즉, 주어진 탄젠트 값을 바탕으로 배각공식등을 적절히 이용하여 $1$에 충분히 근사시킬 수 있으면) 마친의 공식과 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있다. 이러한 공식들은 유사 마친 공식(Machin-like Formula)이라 불리는데 모두 다음의 형태를 갖는다.
\[ c_0 \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{k} c_n \arctan \frac{a_n}{b_n}. \]
이때 $a_n$의 값을 $1$로 제한하고 항의 개수도 두개로 제한하면, 마친의 공식을 포함하여 단 네개의 유사 마친 공식이 존재한다.
\begin{align*} \frac{\pi}{4} &= \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3}, \\[5pt] \frac{\pi}{4} &= 2 \arctan \frac{1}{2} - \arctan \frac{1}{7}, \\[5pt] \frac{\pi}{4} &= 2 \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{7} \\[5pt] \frac{\pi}{4} &= 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}. \end{align*}
2002년에 도쿄 대학의 카나다 (Yasumasa Kanada) 교수는 1초에 20억번의 연산이 가능한 슈퍼컴퓨터를로 원주율의 값의 계산하여 세계 기록을 세웠다. 이때 카나다 교수가 이용한 공식이 유사 마친 공식으로, 다음 두개의 식을 이용하였다고 한다.
\begin{align*} \frac{\pi}{4} &= 12 \arctan \frac{1}{49} + 32 \arctan \frac{1}{57} - 5 \arctan \frac{1}{239} + 12 \arctan \frac{1}{110443}, \\[5pt] \frac{\pi}{4} &= 44 \arctan \frac{1}{57} + 7 \arctan \frac{1}{239} - 12 \arctan \frac{1}{682} + 24 \arctan \frac{1}{12943}. \end{align*}
마지막으로, 현재까지 알려진 원주율을 가장 빠르게 계산할 수 있는 유사 마친 공식은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{\pi}{4} & = 83 \arctan \frac{1}{107} \\ & \quad + 17 \arctan \frac{1}{1710} \\ & \quad - 22 \arctan \frac{1}{103697} \\ & \quad - 24 \arctan \frac{1}{2513489} \\& \quad - 44 \arctan \frac{1}{18280007883} \\ & \quad + 12 \arctan \frac{1}{7939642926390344818} \\ & \quad + 22 \arctan \frac{1}{3054211727257704725384731479018}. \end{aligned} \]