실해석학에서 극값 정리_{(Extreme Value Theorem)} 또는 최대-최소 정리_{(Max-Min Theorem)}이라고 불리는 정리는 아래와 같다.

이 정리에서 중요한 사실은 주어진 집합 $E$의 옹골성_{(compactness)}과 주어진 함수 $f$의 연속성_{(connectedness)}이다. 일단 이 두 조건이 만족 되면 반드시 최댓값과 최솟값의 존재성이 보장 되기 때문에, 적당한 알고리즘을 통해 이 극값들을 찾을 수 있을것이라 기대할 수 있다. 하지만 이 두 조건 모두 굉장히 강력한 조건들이라 위 정리를 실제로 적용하기가 쉽지 않은 경우가 많다. 그래서 이번 글에서는 이 두 강력한 조건들을 상대적으로 약한 조건으로 완화 하는 방법에 대해서 생각해 보고자 한다.

먼저 집합 $E$의 옹골성_{(compactness)}을 완화하는 방법에 대해서 생각해 보자. 우선 주어진 함수 $f$의 sub-level set에 대한 정의가 필요하다.

증명. 우선 sub-level set을 아래와 같이 생각할 수 있다.

이 때, $(-\infty,\, \alpha]$는 닫힌 집합이고 $f$가 연속이므로, sub-level set $S_\alpha$ 또한 닫힌 집합임을 알 수 있다. 또한 $E$가 닫힌 집합이라 가정하였으므로, $E \cap S_\alpha$도 닫힌 집합이다. 따라서 $E \cap S_\alpha$는 유계이고 닫힌 집합이므로 옹골집합이다.

따라서, 극값 정리를 여기에 적용할 수 있다. 즉, $\min_{x \in E \cap S_\alpha} f(x)$는 $E \cap S_\alpha$ 안에서 최적해 $x^*$를 갖는다. 이제 $x^*$가 집합 $E$의 원소임을 보이면 증명이 완료 된다. 먼저 $x^*$가 최적해이므로, 임의의 $x \in E \cap S_\alpha$에 대하여,

또한 임의의 $x \in P \setminus S_\alpha$에 대하여, ($x$가 $S_\alpha$의 원소가 아니기 때문에) $f(x) > \alpha$를 얻고 결과적으로 $f(x) > \alpha \geq f(x^*)$를 얻는다. 이는 임의의 $x \in P$에 대하여 $f(x) \geq f(x^*)$임을 의미하므로, $x^*$는 $\min_{x \in P} f(x)$의 최적해임을 알 수 있다..

이제 주어진 함수 $f : \R^n \to \R$의 sub-level set이 유계임을 확인할 수 있는 또 다른 방법에 대해서 알아보자. 만약 $x$의 크기(노름)가 발산할때마다 $f(x)$의 값 또한 같이 발산하면 함수 $f$를 coercive하다고 한다. 좀 더 자세한 정의는 아래와 같다.

coercivity와 sub-level set 사이에는 아래와 같이 밀접한 관계가 존재한다.

증명. (모순을 이끌어 내기 위하여) 어떤 $\alpha \in \R$가 존재하여 $S_\alpha$가 유계가 아니라 가정해보자. 그러면 $\norm{x_n} \to \infty$를 만족하는 수열 $(x_n)$이 $S_\alpha$에 존재한다. 이제 $f$가 coercive하므로, 반드시 $f(x_n) \to \infty$여야만 한다. 하지만 이는 임의의 $x \in S_\alpha$에 대하여 $f(x) \leq \alpha$라는 사실과 모순이다. 그러므로 $f$의 모든 sub-level set들은 유계이다..

증명. 정리 1.4와 정리 1.2에 의해 성립한다..