아래와 같은 조화급수(harmonic series)를 생각해 보자.
이 급수가 양의 무한대로 발산한다는 사실은 잘 알려져 있다. 즉, 충분히 많은 항을 더해주면 우리가 생각하는 어떤 큰 수라도 그보다 더 크게 만들어 줄 수 있다. 예를 들어 10을 얻기 위해서는 첫 12367개의 항을 더해주면 된다. 또한 처음부터 1509 2688 6221 1378 8323 6935 6326 4538 1014 4985 9497개의 항을 더해주면 그 합이 100을 넘긴다고 한다.1
하지만 만약 위의 조화급수의 항 중에서 $9$가 들어가는 항을 모두 제외한다면, 그 합은 어떻게 될까? 여전히 발산하게 될까? 만약 수렴한다면 어떤 수로 수렴하게 될까?
Kempner 급수는 1914년 Kempner의 논문 "A Curious Convergent Series"에서 제안된 급수로써 다음과 같은 형태를 갖는다.
즉, 조화급수의 각 항에서 $\tfrac{1}{9},\, \tfrac{1}{19},\, \tfrac{1}{29}$ 등의 항을 모두 제외하는 것이다. 하지만, $\tfrac{1}{88}$에 도달하고 나면 $\tfrac{1}{89}$ 부터 $\tfrac{1}{99}$ 까지의 11개의 항을 모두 제외해야 한다. 이런식으로 계속 항을 제외해 나가다가 $\tfrac{1}{888}$에 도달한 후에는 $\tfrac{1}{889}$ 부터 $\tfrac{1}{999}$ 까지 111개의 항이 모두 제외된다. 따라서 $\tfrac{1}{1}$ 부터 $\tfrac{1}{1000}$까지의 항 중에서 제외되는 항의 수는 271개로 약 27% 정도의 항이 제외된다. 이를 다시 말하면 여전히 73% 의 항이 남아 있으므로 발산 할 수도 있을거라 짐작할 수 있다. 이제 이 급수에 수렴성을 제대로 분석해 보도록 하자.
증명. 간단한 계산을 해보면 아래와 같은 결과를 얻는다. 아래 식에서 예를 들어 $\tfrac{1}{10}$과 $\tfrac{1}{88}$ 사이에도 많은 수를 제외해야 한다는걸 주의하자. 따라서 10부터 88까지의 개수가 (19, 29, 39, ... 79가 제외되므로) 79개가 아니라 72개이다.
위와 같은 식으로 계산하면, $9$를 제외한 $n$ 자리 수의 역수들을 모두 합한 값은 언제나 $8 \left(\tfrac{9}{10}\right)^{n-1}$보다 작음을 알 수 있다. 따라서
따라서 수렴한다..
사실 $\tfrac{1}{1}$ 부터 $\tfrac{1}{1000}$까지의 항 중에서 제외되는 항은 약 27% 정도 뿐이지만, 만약에 1부터 $10^{100}$까지의 수 중에서 $9$가 단 한번도 들어가지 않는 수를 구해보면,
정도밖에 되지 않는다는 사실을 알 수 있다. 즉, 조화수열의 급수중에서 거의 모든 항이 제외되는 것과 마찬가지이다.
그렇다면 이 급수의 수렴값은 무엇일까? 이 급수는 수렴속도가 너무나도 느리기 때문에 컴퓨터를 이용해도 정확한 수렴값을 근사하는게 쉽지 않다. 하지만 2008년에 Schmelzer와 Baillie가 제안한 새로운 알고리즘2을 적용하여 이 수렴값을 계산하면 약 22.92067이 된다고 한다. 더 나아가 'no 0' 급수, 'no 1' 급수, 'no 2' 급수, ..., 'no 8' 급수 등도 생각해 볼 수 있는데, 이들 모두 수렴하는 급수들이고3 이들 각각의 수렴값은 아래 표와 같다.
나아가 $42$, $911$, $3141592$, $000\ldots00$ ($0$이 100개) 등 임의의 수의 나열을 포함한 수를 제외한 수만의 역수를 더하는 급수는 모두 수렴한다는 것이 알려져 있다. 예를 들어 $3141592$를 포함하는 수를 모두 제외하고 남은 수들의 역수의 합은 약 $2302582.33386$이 된다고 한다.