에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality) 이란 볼록함수에 대해 성립하는 부등식 중 하나로써, 볼록함수(convex function) $f:[a,\,b] \to \R$에 대하여 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 적분한 적분값의 평균을 간단히 근사하는 방법을 제공한다.
이번 글에서는 에르미트-아다마르 부등식을 증명하고, 이를 이용한 몇 가지 예제들을 살펴보고자 한다.
정리. 에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)볼록함수(convex function) $f:[a,\,b] \to \R$에 대하여 다음의 부등식이 항상 성립한다.
\[ f \left( \frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}. \tag*{(H-H)}\]
증명. 볼록함수의 정의에 의하여, 임의의 $0 \leq t \leq 1$에 대하여 다음이 성립한다.
\[ f(ta + (1-t)b) \leq t f(a) + (1-t) f(b). \tag*{$(\ast)$}\]
이제 임의의 $x \in [a,\,b]$에 대하여 $t = (b-x)(b-a)^{-1}$로 정의하자. 그러면 $0 \leq t \leq 1$이고 $1-t = (x-a)(b-a)^{-1}$임을 간단히 확인할 수 있다. 또한
\[ ta + (1-t)b = \frac{b-x}{b-a} a + \frac{x-a}{b-a} b = \frac{(b-x)a + (x-a)b}{b-a} = \frac{xb - xa}{b-a} = x. \]
따라서 $t$값을 $(\ast)$에 대입하여 정리하면,
\begin{align*} f(x) & \leq \frac{b-x}{b-a} f(a) + \frac{x-a}{b-a} f(b) \\[5pt] & = \frac{b-a}{b-a}f(a) + \frac{a-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a} f(b) \\[5pt] & = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a) \end{align*}
참고로 위 부등식은 $f$가 볼록함수일 때, $f$의 그래프는 언제나 $(a,\, f(a))$와 $(b,\, f(b))$를 연결하는 직선의 아래쪽에 놓인다는 사실로부터 기하학적으로 보일 수도 있다. 이제 양변을 구간 $[a,\,b]$에서 적분하면,
\[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \leq \int_{a}^{b} f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a) \,dx = \frac{f(a) + f(b)}{2} (b-a) \]
따라서 양변을 $b-a$로 나누어 주면 식 (H-H)의 오른쪽 부등식이 증명된다.
이제 (H-H)의 왼쪽 부등식을 증명해 보자. 먼저
\[ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x) \,dx + \frac{1}{b-a} \int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(y) \,dy \]
이제 우변의 두 적분에 각각 $x = \frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2}u$, $y = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}v$로 치환을 해 주면,
\begin{align*} \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx &= - \frac{1}{2} \int_{1}^{0} f \left( \tfrac{a+b}{2} - \tfrac{b-a}{2}u \right) du + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f \left( \tfrac{a+b}{2} + \tfrac{b-a}{2}v \right) dv \\[5pt] &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \Big[ f \left( \tfrac{a+b}{2} - \tfrac{b-a}{2}t \right) + f \left( \tfrac{a+b}{2} + \tfrac{b-a}{2}t \right) \Big] dt \end{align*}
이제 $p = \tfrac{a+b}{2} - \tfrac{b-a}{2}t$, $q= \tfrac{a+b}{2} + \tfrac{b-a}{2}t$라 정의하면, $p,\,q \in [a,\,b]$이고 따라서 볼록함수의 성질에 의해,
\[ \frac{1}{2}f(p) + \frac{1}{2}f(q) \geq f\left( \frac{p}{2} + \frac{q}{2} \right) = f\left( \frac{a+b}{2} \right) \]
를 얻는다. 그러므로
\[ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \,dx \geq \int_{0}^{1} f \left( \frac{a+b}{2} \right) dx = f \left( \frac{a+b}{2} \right). \]
즉, 식 (H-H)의 왼쪽 부등식 또한 성립한다. 따라서 에르미트-아다마르 부등식이 성립한다..
예제1. 함수 $f : \R \to \R$를 $f(x) = e^x$로 정의하자. 그러면 $f$는 볼록함수이다. 따라서 임의의 $a<b$에 대하여 에르미트-아다마르 부등식을 적용하면,
\[ e^{\frac{a+b}{2}} \leq \frac{e^b - e^a}{b-a} \leq \frac{e^a + e^b}{2} \]
를 얻는다. 이제 적당한 $0<x<y$가 존재하여 $a = \ln(x)$, $b = \ln(y)$로 나타낼 수 있으므로, 이를 위 부등식에 대입하여 정리하면
\[ \sqrt{xy} \leq \frac{y-x}{\ln(y) - \ln(x)} \leq \frac{x + y}{2} \]
를 얻는다. 위 부등식의 가운데 항을 두 수 $0<x<y$의 로그평균(logarithmic mean) 이라 한다.
예제2. 이번에는 함수 $g : (0,\, \infty) \to \R$를 $g(x) = -\ln(x)$로 정의하자. $g$가 볼록함수이므로 임의의 $0<x<y$에 대하여 에르미트-아다마르 부등식을 적용하면
\[ - \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{-y \ln(y) + y + x \ln(x) - x}{y-x} \leq \frac{- \ln(x) - \ln(y)}{2} \]
가 성립한다. 위 부등식에 $-1$을 곱하고 정리하면
\[ \frac{\ln(x) + \ln(y)}{2} \leq \frac{y \ln(y) - x \ln(x)}{y-x} - 1 \leq \ln \left( \frac{x+y}{2} \right) \]
을 얻는데 다시 이 부등식에 지수함수를 적용하자. 그러면
\[ \sqrt{xy} \leq \frac{1}{e} \sqrt[y-x]{\frac{y^y}{x^x}} \leq \frac{x+y}{2} \]
를 얻는다. 위 부등식의 가운데 항을 두 수 $0<x<y$의 아이덴트릭 평균(identric mean) 이라 한다.
참고. 사실 위 예제들에서 등장한 여러가지 평균들 사이에는 아래의 부등식이 성립한다.
\[ \sqrt{xy} \leq \frac{y-x}{\ln(y) - \ln(x)} \leq \frac{1}{e} \sqrt[y-x]{\frac{y^y}{x^x}} \leq \frac{x + y}{2} \]
위 평균들은 스톨라스키 평균(Stolarsky mean) 이라 불리는 평균의 특수한 경우들인데, 이에 대해서는 다음에 자세히 다루어 보기로 하자.