증명. 다음과 같이 함수 $f$를 정의한다.
\[ f(x) = \lfloor nx \rfloor - \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor \]
이제 이 함수가 $f(x) \equiv 0$임을 보이면 충분하다.
먼저 $x = x + \tfrac{1}{n}$을 대입해 주면,
\begin{align*} f\left( x + \frac{1}{n} \right) &= \left\lfloor n \left(x + \frac{1}{n} \right) \right\rfloor -
\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{1}{n} + \frac{k}{n} \right\rfloor \\[5px] &= \left\lfloor nx + 1
\right\rfloor - \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k+1}{n} \right\rfloor \\[5px] &= \underbrace{\lfloor nx + 1
\rfloor}_{\lfloor nx \rfloor} - \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor + \underbrace{\lfloor
x+1 \rfloor - \lfloor x \rfloor}_{=0} \\[5px] &= f(x) \end{align*}
즉, 임의의 $x \in \R$에 대하여 $f(x) = f(x + \tfrac{1}{n})$이 성립한다. 또한 $0 \leq x < \tfrac{1}{n}$이면
\[ 0 \leq nx < 1 \implies \lfloor nx \rfloor = 0 \]
이고, 임의의 $0 \leq k \leq n-1$에 대하여
\[ 0 \leq \frac{k}{n} \leq x + \frac{k}{n} < \frac{k+1}{n} \leq 1 \implies \left\lfloor x +
\frac{k}{n} \right\rfloor = 0 \]
을 얻는다. 따라서 $0 \leq x < \tfrac{1}{n}$인 범위에서 $f(x) = 0$임을 알 수 있다. 이제 $f(x)$가 주기가 $\tfrac{1}{n}$인 주기함수라는 사실로부터 $f(x) \equiv 0$을 얻고 증명이 완료된다..
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풀이. 에르미트 항등식에서 $n=2$인 경우 $\lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac{1}{2} \rfloor = \lfloor 2x \rfloor$이 성립한다. 그러므로
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \left\lfloor \frac{n + 2^k}{2^{k+1}} \right\rfloor &= \lim_{k' \to
\infty} \sum_{k=0}^{k'} \left\lfloor \frac{n}{2^{k+1}} + \frac{1}{2} \right\rfloor \\[5px] &= \lim_{k' \to
\infty} \sum_{k=0}^{k'} \left( \left\lfloor \frac{n}{2^k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{2^{k+1}} \right\rfloor
\right) \\[5px] &= \lim_{k' \to \infty} \lfloor n \rfloor - \left\lfloor \frac{n}{2^{k'+1}} \right\rfloor
\\[5px] &= n \tag*{$\myblue{\square}$} \end{align*}
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풀이. 주어진 급수를 $S_n$이라 하자. 그러면 에르미트 항등식에 의해 다음을 얻는다.
\[ S_n - S_{n-1} = \sum_{i=0}^{n-1} \left\lfloor \frac{x+i}{n} \right\rfloor = \sum_{i=0}^{n-1}
\left\lfloor \frac{x}{n} + \frac{i}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor \]
또한 $S_1 = \lfloor x \rfloor$이므로, $S_n = n \lfloor x \rfloor$임을 알 수 있다..