$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}$코시-슈바르츠 부등식_{(Cauchy-Schwarz inequality)}은 임의의 내적공간에서 성립하는 다음의 부등식이다. 임의의 $\bfx, \bfy \in V$에 대하여 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 \leq \norm{\vphantom{y}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2. \] 특히 $V = \C^n$인 경우 (일반적으로 $V$가 유한차원인 경우), 위 부등식을 풀어써서 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \bigg| \sum_{i=1}^{n} x_i \bar{y_i} \bigg|^2 \leq \bigg( \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i}^2 \bigg) \bigg( \sum_{i=1}^{n} \abs{y_i}^2 \bigg). \] 이번 글에서는 코시-슈바르츠 부등식의 확장된 형태를 알아보고자 한다. 주어진 복소벡터 $\bfx, \bfy \in \C^n$의 $j$번째 성분을 각각 $x_j$, $y_j$로 나타낼 때, $\bfx \odot \bfy$는 $j$번째 성분이 $x_j y_j$로 주어지는 벡터로 정의하자. 그러면 다음 확장된 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

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증명. 좌변의 부등식은 코시-슈바르츠 부등식으로부터 간단히 유도할 수 있으므로, 우변의 부등식을 증명하도록 하자. 먼저 일반성을 잃지 않고 $\bfx$와 $\bfy$의 모든 성분들이 $0$ 이상인 실수라 가정할 수 있다. 왜냐하면 $\bfx$의 $j$번째 성분 $x_j$를 극좌표 $x_j = \abs{x_j} e^{i \theta_j}$로 나타내면 \[ (\bfx \odot \bar{\bfx})_j = \big( \abs{x_j} e^{i \theta_j} \big) \big( \abs{x_j}e^{- i \theta_j} \big) = \abs{x_j}^2 \] 따라서 $x_j$를 $\abs{x_j}$로 그리고 $y_j$를 $\abs{y_j}$로 바꾸게 되더라도 $\norm{\bfx \odot \bar{\bfx}} \norm{\bfy \odot \bar{\bfy}}$와 $\ip{\bfx \odot \bar{\bfx}}{\bfy \odot \bar{\bfy}}$, 그리고 $\norm{\vphantom{\bfy}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2$의 값은 변하지 않는다. 또한 삼각 부등식에 의해 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 = \bigg| \sum_{i=1}^{n} x_i \bar{y_i} \bigg|^2 \leq \bigg( \sum_{i=1}^{n} \abs{x_i} \abs{y_i} \bigg)^2 \] 가 성립하므로 $\abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2$의 값은 $x_j$를 $\abs{x_j}$로 그리고 $y_j$를 $\abs{y_j}$로 바꾸는 경우에 가장 큰 값을 가지기 때문이다.

이제 라그랑주 항등식_{(Lagrange's identity)}을 사용해 주어진 부등식을 다시 표현해보자. 먼저 라그랑주 항등식은 다음과 같이 주어진다. \[ \sum_{i < j} \big( a_i b_j - a_j b_i \big)^{2} = \bigg( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \bigg) \bigg( \sum_{i=1}^n b_i^2 \bigg) - \bigg( \sum_{i=1}^n a_i b_i \bigg)^{\!2}. \] 또한 증명하고자 하는 부등식을 풀어 쓰면 다음과 같다. \[ \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^4 \bigg)^{\!\frac{1}{2}} \bigg( \sum_{i=1}^{n} y_i^4 \bigg)^{\!\frac{1}{2}} - \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 \leq \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \bigg) \bigg( \sum_{i=1}^{n} y_i^2 \bigg) - \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \bigg)^{\!2}. \] 이제 우변을 라그랑주 항등식을 사용해 다시 쓰면 \[ \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^4 \bigg)^{\!\frac{1}{2}} \bigg( \sum_{i=1}^{n} y_i^4 \bigg)^{\!\frac{1}{2}} - \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 \leq \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{2}. \] 따라서 다음 부등식을 보이면 충분하다. \[ \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^4 \bigg) \bigg( \sum_{i=1}^{n} y_i^4 \bigg) \leq \bigg( \sum_i x_i^2 y_i^2 + \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{2} \bigg)^{\!2}. \] 이제 좌변 또한 라그랑주 항등식을 사용해 정리하면 위 부등식은 다음과 같이 표현된다. \[ \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 \bigg)^{\!2} + \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_j^2 - x_j^2 y_i^2 \big)^{2} \leq \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 + \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \bigg)^{\!2}. \] 마지막으로 양변을 전개하고 정리하면 다음 부등식을 얻는다. \[ \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_j^2 - x_j^2 y_i^2 \big)^{2} \leq 2 \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 \bigg) \bigg( \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \bigg) + \bigg( \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \bigg)^{\!2}. \tag*{$\myblue{(\ast)}$} \] 이제 부등식 $\myblue{(\ast)}$를 증명하기 위해 다음을 살펴보자. \begin{align*} 0 & \leq 2 \sum_{i < j} \big( x_i y_i - x_j y_j \big)^2 \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \\[1ex] & = 2 \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_i^2 + x_j^2 y_j^2 \big) \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 - 4 \sum_{i < j} x_i y_i x_j y_j \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \\[1ex] & = 2 \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_i^2 + x_j^2 y_j^2 \big) \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 + \sum_{i < j} \Big[ \big(x_i y_j - x_j y_i \big)^{2} - \big(x_i y_j + x_j y_i \big)^{2} \Big] \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \\[1ex] & = 2 \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_i^2 + x_j^2 y_j^2 \big) \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{2} + \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{4} - \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_j^2 - x_j^2 y_i^2 \big)^{2}. \end{align*} 따라서 위 부등식을 정리하면 다음을 얻는다. \[ \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_j^2 - x_j^2 y_i^2 \big)^{2} \leq 2 \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_i^2 + x_j^2 y_j^2 \big) \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{2} + \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{4}. \tag*{$\myblue{(\ast\ast)}$} \] 한편, 부등식 $\myblue{(\ast\ast)}$의 우변은 부등식 $\myblue{(\ast)}$의 우변보다 언제나 작거나 같으므로, \begin{align*} \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_j^2 - x_j^2 y_i^2 \big)^{2} & \leq 2 \sum_{i < j} \big( x_i^2 y_i^2 + x_j^2 y_j^2 \big) \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{2} + \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^{4} \\[1ex] & \leq 2 \bigg( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 y_i^2 \bigg) \bigg( \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \bigg) + \bigg( \sum_{i < j} \big( x_i y_j - x_j y_i \big)^2 \bigg)^{\!2} \end{align*} 을 얻게 되어, 부등식 $\myblue{(\ast)}$가 성립한다.$ $