Category: Linear Algebra

실수와 복소수 사이의 이상한 관계

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집합론을 배우면서 접하게 되는 (직관에 반하는) 정리 중의 하나는, $\R$은 $\C$의 진부분집합(proper subset)임에도 불구하고, $\R$과 $\C$의 기수(cardinality)가 같다는 사실이다. 따라서 집합론적인 관점에서는 $\R$과 $\C$를 같은 집합, 즉 동형(isomorphic)이라고 보아도 크게... Read more »

무한차원 벡터공간(vector space)의 기저(basis)

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일반적으로 $n$차원 벡터공간(vector space) $\R^n$의 표준기저(standard basis)를 다음과 같이 정의한다. \[ B_n = \{ e_1,\, e_2,\, \ldots,\, e_n \} \] 여기서 각각의 $i = 1,\, \ldots,\, n$에 대하여 $e_i$는 $i$번째... Read more »

일반화된 다항식의 나머지 정리(generalized polynomial remainder theorem)

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다항식의 나눗셈 정리(polynomial division theorem)에 의하면 다음 사실이 성립한다: 서로 다른 두 다항식 $f$, $g$에 대하여 아래 다항식을 만족하는 두 다항식 $q$와 $r$이 유일하게 존재한다. \[ f(x) = g(x)q(x) +... Read more »

외적(cross product)과 오른손 법칙(right hand rule)

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$\R^3$의 두 벡터 ${\bf u} = (u_1,\, u_2,\, u_3)$와 ${\bf v} = (v_1,\, v_2,\, v_3)$에 대하여 ${\bf u}$와 ${\bf v}$의 외적(cross product) ${\bf u} \times {\bf v}$를 다음과 같이 정의한다. \[ {\bf u} \times... Read more »

행렬 이론의 과거와 현재

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※ 출처 - 선형대수학 멀티미디어 교재   행렬과 행렬식에 관한 연구의 출발은 기원전 4세기일 것으로 추측한다. 그러나 연구 결과의 기록은 구체적으로 기원전 2세기의 것부터 남아있으며, 연구를 위한 수단이 갖추어지는 17세기말이... Read more »

벡터공간에서의 교환법칙(commutativity law)

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체(field) $\mathbb{F}$ 위에서의 벡터공간 (real vector space) $(\mathcal{V},\, +,\, \cdot\,)$이란 집합 $\mathcal{V}$와 함께 벡터합 (vector addition)이라 불리는 연산 $+ : \mathcal{V} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ by $(x,\,y) \mapsto x+y$와 스칼라곱... Read more »

벡터공간(vector space)의 또 다른 예

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실벡터공간 (real vector space)이란, 주어진 공간의 (벡터 (vector)라고 불리는) 임의의 원소들의 합과 임의의 원소의 실수배에 대하여 닫혀있는 공간을 말한다. 다시 말해 마음대로 두 원소를 더하거나 주어진 원소를 임의의 실수배 만큼... Read more »