Category: Matrix Algebra

두 행렬(matrix)의 기하평균(geometric mean)에 대하여

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주어진 두 실수 $a,\, b \in \R$의 평균(mean)을 구하는 다양한 방법이 존재하지만, 그 중에서 가장 잘 알려진 평균으로는 $a,\, b$의 산술평균(arithmetic mean): $A(a,\,b) = \dfrac{a+b}{2}$ 기하평균(geometric mean): $G(a,\, b) = ... Read More

멱영행렬(nilpotent matrix)과 고윳값(eigenvalue) 사이의 관계

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$n \times n$ 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 만약 적당한 양의 정수 $k$가 존재하여 $A^k = 0$이 성립하면, $A$를 멱영행렬(nilpotent matrix)라 정의한다. 멱영행렬의 고윳값(eigenvalue)를 생각해 보면 재미있는 사실을 발견할 수 있는데, ... Read More

반대칭행렬(skew-symmetric matrix)의 행렬식(determinant)

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반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이란 전치행렬(transpose)이 덧셈의 역원과 같은 행렬이다. 즉, $n \times n$ 실행렬 $A$에 대하여 $A^{\T}= -A$가 성립할 때, $A$를 반대칭행렬이라 한다. 따라서 임의의 반대칭행렬 $A$에 대하여 $a_{ij}$를 행렬 $A$의 $(i,\,j)$-원소라 ... Read More

셔먼-모리슨-우드버리 공식(Sherman–Morrison-Woodbury formula)

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지난 글에서는 주어진 행렬 $A$의 행렬식과 역행렬을 알고 있을 때, 이 행렬을 계수(rank)가 1인 행렬 $\mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$을 이용하여 갱신한 새로운 행렬 $A + \mathbf{u}_n \mathbf{v}_n^\T$의 행렬식을 구하는 방법에 대하여 알아보았다. ... Read More

행렬식 보조정리(Matrix Determinant Lemma)

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$\newcommand{adj}{\operatorname{adj}}$어떤 행렬에 대한 계산을 필요로 하는 소스코드를 작성중이라 해보자. 이제 코딩을 하던 중에 어떤 반복문을 작성해야 하는데, 일단 행렬 $A_n$이 주어져 있고 이 행렬 $A_n$의 행렬식(determinant)역행렬을 계산했다고 하자. 이제 이 ... Read More

기댓값(expectation)을 이용한 재밌는 증명

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이번에 증명하고자 하는 정리는, 정리의 내용 자체만으로도 흥미로울 뿐만 아니라, 정리를 증명하는 방법 또한 매우 신기해서 이곳에 그 내용을 정리해서 올려보고자 한다. 이 정리는 Quadratic Semidefinite Programming 분야에서 S-lemma라고 불리는 정리를 증명할 ... Read More