임의의 노름공간(normed vector space) $(X,\, \norm{\cdot})$의 임의의 두 벡터 $x,\, y \in X$에 대하여 다음의 삼각부등식(triangle inequality)가 성립한다. \[ \norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y} \] 그렇다면 위 부등식의 두 항의 크기는 어느정도나... Read more »
미적분학에서 주어진 급수 $\sum_{n} a_{n}$의 수렴여부를 판단할 때, 비판정법(ratio test) 또는 근판정법(root test)을 흔히 사용한다. 즉, 주어진 수열의 비 $\abs{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ 또는 $n$제곱근 $\sqrt[n]{\abs{a_{n}}}$의 극한이 존재할 때, 이 극한의 크기에 따라서 주어진 급수의... Read more »
$\R^3$의 두 벡터 ${\bf u} = (u_1,\, u_2,\, u_3)$와 ${\bf v} = (v_1,\, v_2,\, v_3)$에 대하여 ${\bf u}$와 ${\bf v}$의 외적(cross product) ${\bf u} \times {\bf v}$를 다음과 같이 정의한다. \[ {\bf u} \times... Read more »
코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)은 급수 수렴 여부를 판정하는 방법 중의 하나로써, 주어진 급수 $\sum a_n$가 양항 급수이고 급수의 각 항이 감소수열일 때, 사용할 수 있는 판정법이다. 정리. 코시 응집... Read more »
비 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 매우 강력한 도구 중 하나이다. 비 판정법이란, "주어진 급수 $\sum_n a_n$에 대하여 다음의 극한 \[ \lim_{n \to \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}} = L \] 에 대하여, $L>1$인... Read more »
지난 글에서 토매 함수(Thomae function)이라 불리는 함수를 정의하고, 이 함수가 모든 유리수점에서 불연속이고 모든 무리수점에서 연속인 함수임을 보였다. 이 관찰을 바탕으로 다음과 같은 자연스러운 질문을 던질 수 있다. 모든 유리수점에서... Read more »
디리클레 함수(Dirichelet function)란 모든 점에서 불연속인 함수의 한 예로써, 다음과 같이 정의되는 함수이다. \[ f(x) = \begin{cases} 0, \quad & \text{if $x \notin \Q$} \\ 1, \quad & \text{if $x... Read more »
임의의 내적공간 $(V,\, \langle \cdot,\, \cdot \rangle)$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 원소 $x \in V$에 대하여, 아래과 같이 노름(norm)을 자연스럽게 정의할 수 있다. \[ \Vert x \Vert := \sqrt{\langle x,\,... Read more »
측도공간(measure space) $(X,\, \mathscr{A},\, \mu)$가 주어졌다고 하자. 측도란 특정 집합에 일종의 '길이' 또는 '크기'를 부여 하는 개념이다. 따라서 주어진 측도(measure)로 부터 두 집합 사이의 '거리'를 부여하는 거리함수(metric)를 정의할 수 있지 않을까? ... Read more »
\( x^{2} + 1 = 0 \)이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(x^{2} = -1\)을 만족하는 \(x\)의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은... Read more »