$\newcommand{\bfx}{\mathbf{x}} \newcommand{\bfy}{\mathbf{y}}$코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)은 임의의 내적공간에서 성립하는 다음의 부등식이다. 임의의 $\bfx, \bfy \in V$에 대하여 \[ \abs{\ip{\bfx}{\bfy}}^2 \leq \norm{\vphantom{y}\bfx}^2 \norm{\bfy}^2. \] 특히 $V = \C^n$인 경우 (일반적으로 $V$가 유한차원인 경우),... Read more »
티투의 보조정리(Titu's lemma)는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 활용하여 여러 분수 형태의 합을 간결하게 비교할 수 있게 해 주는 유용한 부등식이다. $ $ 정리. 티투의 보조정리(Titu's lemma) 양의 실수 $a_1, a_2, \ldots,... Read more »
지뢰찾기(minesweeper) 게임란 $m \times n$ 크기의 격자에 주어진 숫자를 바탕으로 각 격자에 숨어 있는 지뢰를 모두 찾는 게임이다. 이 때, 각 격자에 주어지는 숫자는 그 격자에 인접한 8개의 격자에 위치한... Read more »
정리. 에르미트 항등식(Hermite's identity) 임의의 실수 $x \in \R$와 양의 정수 $n \in \N$에 대하여 다음이 성립한다. \[ \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x... Read more »
에르미트-아다마르 부등식(Hermite-Hadamard inequality)이란 볼록함수에 대해 성립하는 부등식 중 하나로써, 볼록함수(convex function) $f:[a,\,b] \to \R$에 대하여 $f$를 구간 $[a,\,b]$에서 적분한 적분값의 평균을 간단히 근사하는 방법을 제공한다. 이번 글에서는 에르미트-아다마르 부등식을... Read more »