\( x^{2} + 1 = 0 \)이라는 방정식을 살펴보자. 이 방정식을 풀기 위하여 우리는 제곱하여 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(x^{2} = -1\)을 만족하는 \(x\)의 값을 찾아내야 한다. 하지만 실수의 제곱은 음수가 나올 수 없으므로, 주어진 방정식은 실수 범위 내에서 해를 구할 수 없다. 따라서 이 방정식을 풀기 하여, 수 체계를 확장해야 할 필요성을 느끼는데, 다시말해 제곱해서 음수가 나올 수도 있는 수 체계로의 확장이 필요할 것 같다.

만일 제곱해서 \(-1\)이 되는 수, 즉 \(\sqrt{-1}\)의 존재를 인정한다면, 위의 방정식의 해는 \(+\sqrt{-1}\) 또는 \(-\sqrt{-1}\)이 된다. 또한 \(x^{2} - 2x + 5\) 같은 방정식의 경우도 실수 범위에서는 그 해를 구할 수 없었지만, 실제로 \(1 \pm 2 \sqrt{-1}\)와 같은 형식으로 방정식의 근을 표현해 낼 수 있다. 직관적으로 봤을 때 존재할 수 없을 것 같지만, 실제로 방정식의 근이 되고 실제로 이러한 수들의 사칙연산이 자연스럽게 정의되기 때문에, 수학자들은 이 수의 가치를 인정하고 허수_{(imaginary number)}의 앞글자를 따서 허수단위 \(i=\sqrt{-1}\)라 부르기 시작했다. 또한, 실수체계에 이 허수단위를 추가한 복소수_{(complex number)}라는 확장된 수 체계를 만들어내었다.

그렇다면 제곱해서 \(i\)가 나오는 수는 무엇일까? 다시 말해 \(x^{2}=i\)를 만족하는 근을 복소수 체계 안에서 구할 수 있을까? \(x^{2}=-1\)의 근을 실수 체계 안에서 구할 수 없어 복소수라는 확장된 수 체계를 만들어 냈듯이, 이 방정식 \(x^{2}=i\)을 풀기 위해서 새로운 수의 단위 \(j=\sqrt{i}\)라는 수를 만들어야 할까? 다행이도 정답은 '그렇지 않다'이다. 이 방정식의 근이 존재한다는 사실은 대수학의 기본정리_{(fundamental theorem of algebra)}가 보장해 준다.

대수학의 기본정리란 '상수가 아닌 복소수를 계수로 갖는 \(n\)차 다항방정식은 중근을 포함하여 정확하게 \(n\)개의 복소수 근을 갖는다'이다. 다시말해 임의의 \(n\)차 복수계수 다항식

에 대하여 복소수 \(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\)이 존재하여, 모든 \(k=1, \cdots, n\)에 대하여 \(p(z_{k})=0\)을 만족한다는 뜻이다. \(x^{2}=i\)도 이차 복소계수 다항식이므로 대수학의 기본정리에 의해 이 방정식을 만족하는 복소수근이 두개 존재한다는 사실을 알 수 있다.

이제 실제로 이 방정식의 근을 구해보자. \(a+ib\)를 이 방정식의 근이라 가정하고 주어진 방정식에 대입하면, \( (a+ib)^{2}=i\)가 됨을 알 수 있다. 두 실수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하기 위해 식을 정리하면,

이 되므로 \(a^{2} - b^{2} = 0\)과 \(2ab-1=0\)을 동시에 만족하는 \(a\)와 \(b\)를 찾아야한다. 우선 첫번째 조건으로 \(a = \pm b\)임을 알수 있다. 만약 \(a=-b\)인 경우, 두번째 조건을 만족하는 두 실수가 존재하지 않는다. 따라서 \(a=b\)를 두번째 식에 대입하여 풀면, \(2a^{2}-1=0\)이 되고, \(a=b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)임을 어렵지 않게 구할 수 있다. 따라서 방정식 \(x^{2}=i\)의 근은 \(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\) 또는 \(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\)가 된다.

실수와는 달리 복소수 범위에서는 모든 복소계수 다항식의 근을 구할 수 있기 때문에, 이를 대수적으로 닫혀있다_{(algebraically closed)}고 한다. 이는 실수 체계는 가지지 못하는 복소수 체계의 중요한 성질 중 하나이다.