비르팅거 부등식_{(Wirtinger's inequality)}이란 푸리에 해석_{(Fourier analysis)} 분야에서 자주 쓰이는 부등식으로, 특정한 형태의 주기함수에 대하여 성립하는 다음의 부등식을 말한다.

증명. $f$가 주기함수이므로 $f$의 푸리에 급수_{(Fourier series)}가 존재한다. 즉,

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서

로 주어진다. 또한 ${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$이므로 $a_0=0$임을 알 수 있다. 이제 식 $(\ast )$의 양변을 미분하면

를 얻는다. 따라서 $\{\cos (kt),\sin (kt):k\ge 1\}$의 직교성_{(orthogonality)}에 의해, 식 $(\ast )$로부터

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }(f(t){)}^{2}dt& ={\int }_0^{2\pi }{[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos (kt)+b_k\sin (kt))]}^{2}dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }\left[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k^2{\cos }^2(kt)+b_k^2{\sin }^2(kt))\right]dt\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[a_k^2{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2(kt)dt+b_k^2{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(kt)dt]\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\pi (a_k^2+b_k^2)\end{array}$$

를 얻는다. (이 등식을 파세발 항등식_{(Parseval's identity)}이라 부른다.) 마찬가지 방법으로 식 $(\ast \ast )$로부터

를 얻는다. 그러므로 부등식

이 성립한다. 위 부등식에서 등식이 성립할 조건은 모든 $k\ge 2$에 대하여 $a_k=b_k=0$인 것이므로 주어진 함수가

의 형태일 때 등식이 성립한다..