지수함수 $f(x) = e^x$는 굉장히 특별한 성질을 가지고 있는 함수이다. 이 함수를 미분하면 $f'(x) = e^x$이다. 또한 이 함수를 적분하면, 즉, 이 함수의 원시함수_{(primitive function)}를 $F(x)$를 구해보면, $F(x) = e^x + C$의 형태가 되어 (상수항을 무시하면) 도함수와 원시함수가 서로 같아진다. 이러한 성질을 만족하는 함수가 더 있을까?

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미분방정식을 이용하면 이에 대한 해답을 간단히 얻을 수 있다. 주어진 함수 $f(x)$의 도함수와 원시함수가 서로 같다고 하자. 이제 $f(x)$의 원시함수를 $F(x)$라 하면, $f'(x) = F''(x)$라 할 수 있으므로, 문제의 조건에 의해서 \[ F''(x) = F(x) \] 를 만족해야 함을 알 수 있다. 이는 미분방정식 $F'' - F = 0$을 푸는 문제와 같고, 이 미분방정식의 특성방정식 $r^2 - 1 = 0$의 두 근이 $r = \pm 1$이므로 미분방정식을 만족하는 모든 해는 \[ F(x) = c_1 e^{x} + c_2 e^{-x}, \quad (c_1,\, c_2 \in \R) \] 의 형태로 주어짐을 알 수 있다. 따라서 위 함수를 미분하면 구하고자 하는 함수 \[ f(x) = c_1 e^{x} - c_2 e^{-x}, \quad (c_1,\, c_2 \in \R) \] 를 얻는다.

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식 $(\ast)$의 $c_1$, $c_2$에 적당히 실수를 대입하면 몇 가지 재미있는 해를 얻을 수 있다. 우선 $c_1=1$, $c_2=0$을 대입하면 제일 위에서 살펴 보았듯이 $e^x$가 도함수와 원시함수가 같은 함수가 된다. 또한 $c_1 = c_2 = \frac{1}{2}$인 경우와 $c_1 = -c_2 = \frac{1}{2}$를 각각 대입해보면, \[ \frac{1}{2}e^{x} - \frac{1}{2} e^{-x} = \sinh(x), \qquad \frac{1}{2}e^{x} + \frac{1}{2} e^{-x} = \cosh(x) \] 가 되어 $\sinh(x)$와 $\cosh(x)$ 또한 위 조건을 만족하는 함수들임을 알 수 있다.

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이번에는 도함수와 원시함수의 부호가 반대인 함수에 대해서 생각해 보자. 대표적인 예로 $\sin(x)$를 생각해 볼 수 있다. 이 함수의 도함수와 원시함수를 구해보면, 각각 $f'(x) = \cos(x)$와 $F(x) = -\cos(x) + C$가 되어 (역시 상수항을 무시하면) 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. $\cos(x)$ 또한 위 성질을 만족하는 함수 중 하나이다. 이번에도 미분 방정식을 이용하여 위와 같은 성질을 만족하는 모든 함수들을 구해보자.

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우선 주어진 함수를 $f(x)$라 하고 도함수와 원시함수의 부호가 서로 반대라 하자. 이제 $f(x)$의 원시함수를 $F(x)$라 하면, 문제의 조건에 의해서 \[ F''(x) = -F(x) \] 를 만족해야 한다. 따라서 미분방정식 $F'' + F = 0$의 특성방정식 $r^2 + 1 = 0$은 두 허근 $r = \pm i$을 갖는다. 따라서 미분방정식을 만족하는 모든 해를 구해 보면 \[ F(x) = c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x), \quad (c_1,\, c_2 \in \R) \] 의 형태로 주어진다. 따라서 위 함수를 미분하면 구하고자 하는 함수 \[ f(x) = c_1 \sin(x) - c_2 \cos(x), \quad (c_1,\, c_2 \in \R) \] 를 얻는다. 즉, 위에서 살펴보았던 두 삼각함수 $\sin(x)$ ($c_1=1,\, c_2 = 0$인 경우)와 $\cos(x)$ ($c_1=0,\, c_2 = -1$인 경우), 그리고 이 두 함수의 선형 결합만이 우리가 원하는 성질을 만족하는 함수들임을 알 수 있다.

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마지막으로 좀 더 특이한 성질을 가지는 함수를 살펴보자. 이번에는 주어진 함수의 도함수와 원시함수를 각각 구하여 두 함수의 평균을 구한다. 이 때, 이 평균이 원래의 함수와 같아지게 되는 함수는 어떤 것이 있을까? 예를 들어 함수 $e^{x}$의 경우 도함수와 원시함수가 (상수항을 무시하면) $e^{x}$로 서로 같으므로, 도함수와 원시함수의 평균이 원래의 함수 $e^{x}$와 같음을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 $e^{-x}$의 경우 도함수와 원시함수가 (상수항을 무시하면) $-e^{-x}$로 서로 같지만, 이들의 평균 또한 $-e^{-x}$가 되어 원래 함수 $e^{-x}$와 서로 같지 않다.

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이제 위 조건을 만족하는 함수를 미분방정식을 세워서 구해 보도록 하자. 마찬가지로 $f(x)$라 하고 $F(x)$를 $f(x)$의 원시함수라 하자. 그러면 문제의 조건에 의해서 \[ \frac{F''(x) + F(x)}{2} = F'(x) \] 를 만족해야 한다. 위 식을 정리하면 미분방정식 $F'' -2F' + F = 0$을 얻는다. 이 미분방정식 특성방정식 $r^2 - 2r + 1 = 0$은 중근 $r = 1$을 가지므로 위 미분방정식을 만족하는 해는 \[ F(x) = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x}, \quad (c_1,\, c_2 \in \R) \] 의 형태로 주어진다. 따라서 위 식을 미분하여, \[ \begin{align*} f(x) &= c_1 e^{x} + c_2 (e^{x} + x e^{x}) \\[5px] &= d_1 e^{x} + d_2 x e^{x}, \quad (d_1,\, d_2 \in \R) \end{align*} \] 를 얻는다. 따라서 $d_1=1,\, d_2 = 0$인 경우, 위에서 살펴 보았던 함수 $e^{x}$를 얻고, 만약 $d_1 = 0,\, d_2 = 1$인 경우, $x e^{x}$ 또한 위 성질을 만족한다는 사실을 알 수 있다. 실제로 $f(x) = x e^{x}$라 놓고 도함수와 원시함수를 각각 구해보면, $f'(x) = e^{x} + x e^{x}$, $F(x) = x e^{x} - e^{x} + C$가 되다. 따라서 원시함수의 상수항을 무시하고 도함수와의 평균을 구해보면 \[ \frac{f'(x) + F(x)}{2} = \frac{(e^{x} + x e^{x}) + (x e^{x} - e^{x})}{2} = x e^{x} = f(x) \] 임을 확인할 수 있다.