이번 글의 목적은, 게임 이론에서 폰 노이만(John Von Neumann, 1903-1957)의 최대최소 정리_{(Minimax Theorem)}의 조건을 좀 더 일반화 한 사이온(Maurice Sion)의 최대최소 정리에 대해 알아보고 이를 KKM 사상_{(Knaster-Duratowski-Mazurkiewicz map)}과 Ky Fan의 동시발생 정리_{(Ky Fan's Conincidence Theorem)}을 이용하여 증명하는 것이다.

주어진 함수 $f : X \to \R$이 상반연속이면서 동시에 하반연속이면, $f$는 연속함수이다. 또한 $f : X \to \R$가 연속함수이고 $E \subseteq X$가 옹골집합이면, 극값정리_{(Extreme Value Theorem)}에 의해 $f$는 $E$에서 최댓값과 최솟값을 가짐은 잘 알려져 있다. 만약 $f$가 상반연속이면 $f$는 $E$에서 언제나 최댓값을 가지고, 반대로 $f$가 하반연속이면 $f$는 $E$에서 언제나 최솟값을 가진다.

폰 노이만의 최대최소 정리를 일반화 한 사이온의 최대최소 정리는 다음과 같다.

증명. 먼저 임의의 $x \in C$에 대하여 $y \mapsto f(x,\,y)$가 상반연속이므로, $\max_{y \in D} f(x,\,y)$가 잘 정의된다. 또한 보조정리에 의해 $x \mapsto \max_{y \in D} f(x,\,y)$는 하반연속이므로, $\min_{x \in C} \max_{y \in D} f(x,\,y)$ 또한 잘 정의된다. 마찬가지 방법으로 $\max_{y \in D} \min_{x \in C} f(x,\,y)$ 또한 잘 정의됨을 알 수 있다. 또한 이전 글에서 살펴 보았듯이

임은 자명하다. 이제 등식을 증명하기 위하여 $r \in \R$이 존재하여,

을 만족한다고 가정해 보자. 이제 두 사상 $A,\,B : C \to 2^D$를

와 같이 정의하자. 그러면 $y \mapsto f(x,\,y)$가 상반연속이므로, 모든 $x \in E$에 대하여 $A(x)$는 열린집합이다. 또한 $y \mapsto f(x,\,y)$는 준오목함수이므로 $B(x)$는 (공집합이 아닌) 볼록집합이다. 이제

이므로 $x \mapsto f(x,\,y)$가 하반연속이고 준볼록함수임을 이용하면, 모든 $y \in D$에 대하여 $B^{-1}(y)$는 열린집합이고 $A^{-1}(x)$는 (공집합이 아닌) 볼록집합임을 알 수 있다. 따라서 Ky Fan의 동시발생 정리에 의해 $x_0 \in C$가 존재하여 $A(x_0) \cap B(x_0) \neq \emptyset$를 만족한다. 이제 $y_0 \in A(x_0) \cap B(x_0)$이라 하면,

이 되어 모순이 발생한다. 따라서

를 얻는다..