특수각에 대한 삼각함수의 값은 아래와 같이 주어진다. 아래 표에서 파란색으로 나타낸 숫자들의 변화에 주목하자.
| 각 $(a)$ | $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ | 각 $(b)$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| deg | rad | deg | rad | |||
| 0 | 0 | $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{0}}}{2}$ | $=$ | $0$ | 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2}$ | 60 | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}{2}$ | 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ | ||
| 60 | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{3}}}{2}$ | 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ | ||
| 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{\textcolor{blue}{4}}}{2}$ | $=$ | $1$ | 0 | 0 |
이번 글에서는 위의 표를 더 많은 특수각들에 대한 삼각함수의 값을 포함하도록 확장해볼 것이다. 물론 삼각함수에 대한 다양한 공식을 (합공식, 반각공식, 배각공식 등...) 활용하여 아래의 값들을 구할 수도 있지만, 아래 표에서 볼 수 있듯이 파란색으로 표시한 부분의 숫자만이 변화하기 때문에, 일단 규칙을 외워두면 일반적인 삼각함수의 값 또한 더욱 빨리 계산할 수 있을 것이다.
| 각 $(a)$ | $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ | 각 $(b)$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| deg | rad | deg | rad | |||
| 0 | 0 | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{4}}}}{2}$ | $=$ | $0$ | 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 15 | $\dfrac{\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{3}}}}{2}$ | 75 | $\dfrac{5\pi}{12}$ | ||
| 22.5 | $\dfrac{\pi}{8}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ | 67.5 | $\dfrac{3\pi}{8}$ | ||
| 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2}$ | 60 | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\sqrt{2 \,\smash{\mp}\, \sqrt{\textcolor{blue}{0}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| 60 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| 67.5 | $\dfrac{3\pi}{8}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ | 22.5 | $\dfrac{\pi}{8}$ | ||
| 75 | $\dfrac{5\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{3}}}}{2}$ | 15 | $\dfrac{\pi}{12}$ | ||
| 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{\textcolor{blue}{4}}}}{2}$ | $=$ | $1$ | 0 | 0 |
한발 더 나아가 보자. 황금비를 이용하면 더 많은 삼각함수의 값을 나타낼 수 있다. 여기서 황금비 $\Phi$, $\phi$란 아래의 두 값
\[ \Phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1.618\cdots, \qquad \phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 0.618\cdots \]
를 각각 나타낸다. 이 값들을 이용하여 더 많은 특수각에 대한 삼각함수의 값을 표현할 수 있다. 역시 파란색으로 표시한 숫자들의 변화에 주목하자.
| 각 $(a)$ | $\sin(a)$ 또는 $\cos(b)$ | 각 $(b)$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| deg | rad | deg | rad | |||
| 0 | 0 | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{2}}}}{2}$ | $=$ | $0$ | 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 9 | $\dfrac{\pi}{20}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ | 81 | $\dfrac{9\pi}{20}$ | ||
| 15 | $\dfrac{\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ | 75 | $\dfrac{5\pi}{12}$ |
| 18 | $\dfrac{\pi}{10}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 + \textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2-\Phi}}{2}$ | 72 | $\dfrac{2\pi}{5}$ |
| 22.5 | $\dfrac{\pi}{8}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2 \pm \textcolor{blue}{0}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ | 67.5 | $\dfrac{3\pi}{8}$ |
| 27 | $\dfrac{3\pi}{20}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ | 63 | $\dfrac{7\pi}{20}$ | ||
| 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{1}{2}$ | 60 | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| 36 | $\dfrac{\pi}{5}$ | $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2-\textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2-\phi}}{2}$ | 54 | $\dfrac{3\pi}{10}$ |
| 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\sqrt{2 \mp \sqrt{2-\textcolor{blue}{2}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | 45 | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| 54 | $\dfrac{3\pi}{10}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \phi}}{2}$ | 36 | $\dfrac{\pi}{5}$ |
| 60 | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 30 | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| 63 | $\dfrac{7\pi}{20}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2-\textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ | 27 | $\dfrac{3\pi}{20}$ | ||
| 67.5 | $\dfrac{3\pi}{8}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 \mp \textcolor{blue}{0}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ | 22.5 | $\dfrac{\pi}{8}$ |
| 72 | $\dfrac{2\pi}{5}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{\smash{\phi}}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \Phi}}{2}$ | 18 | $\dfrac{\pi}{10}$ |
| 75 | $\dfrac{5\pi}{12}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{1}}}}{2}$ | $=$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ | 15 | $\dfrac{\pi}{12}$ |
| 81 | $\dfrac{9\pi}{20}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{\Phi}}}}{2}$ | 9 | $\dfrac{\pi}{20}$ | ||
| 90 | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \textcolor{blue}{2}}}}{2}$ | $=$ | $1$ | 0 | 0 |