온자리 수(pandigital number)란 부터 까지의 모든 숫자를 적어도 한번씩 사용하여 만든 자리 이상의 정수를 말한다. 특히 부터 까지의 모든 숫자를 단 한번씩만 사용하여 만든 자리 정수를 완전 온자리 수(perfect pandigital number)라 한다. 예를 들어 가장 작은 자리 완전 온자리 수와 가장 큰 자리 완전 온자리 수는 각각
가 된다. 완전 온자리 수에 대한 잘 알려진 퍼즐이 하나 있는데 이곳에서 관련 퍼즐에 대한 설명을 확인할 수 있다.
하지만 완전 온자리 수의 갯수는 매우 제한적이므로, 부터 까지의 숫자와 수학 연산 기호를 이용하여 만들 수 있는 실수를 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital number)라 하자. 다음 수들은 모두 유사 완전 온자리 수들의 예이다.
위 예를 보면 알겠지만, 유사 완전 온자리 수들로 굉장히 많은 실수들을 표현할 수 있다는 사실을 알 수 있다. 그러면 자연상수 또한 유사 완전 온자리 수로 표현할 수 있을까? 만약 정확하게 표현해 내는 것이 불가능 하다면 얼마나 가깝게 근사할 수 있으까?
위 문제에 대하여 년 Richard Sabey는 자연상수 를 유사 완전 온자리 수를 이용하여 매우 정확하게 근사할 수 있다는 사실을 증명하였다. 그는 를 아래와 같이 근사하였는데,
이 근사는 와 소숫점 아래 자리 까지 정확하다고 한다. Sabey가 어떻게 이러한 근사를 발견할 수 있었는지 생각해 보자. 사실 원리를 알고 보면 매우 간단하다.
우선 자연상수 는 다음과 같이 극한을 이용해서 정의할 수 있다.
따라서 이 충분히 크다면 를 원하는 만큼 근사할 수 있을 것이다. 이제 라 정의하자. 그러면 거듭제곱의 성질에 의하여 을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 Sabey가 제시한 유사 완전 온자리 수를 을 이용하여 다시 표현하면,
임을 알 수 있다. 이제 이 매우 큰 수이므로 를 굉장히 잘 근사할 것이라는 사실을 알 수 있다.