자연상수를 근사하는 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital number)

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온자리 수(pandigital number)0 부터 9 까지의 모든 숫자를 적어도 한번씩 사용하여 만든 10자리 이상의 정수를 말한다. 특히 0부터 9 까지의 모든 숫자를 단 한번씩만 사용하여 만든 10자리 정수를 완전 온자리 수(perfect pandigital number)라 한다. 예를 들어 가장 작은 10자리 완전 온자리 수와 가장 큰 10자리 완전 온자리 수는 각각

1023456789,9876543210

가 된다. 완전 온자리 수에 대한 잘 알려진 퍼즐이 하나 있는데 이곳에서 관련 퍼즐에 대한 설명을 확인할 수 있다.

 

하지만 완전 온자리 수의 갯수는 매우 제한적이므로, 0 부터 9 까지의 숫자와 수학 연산 기호를 이용하여 만들 수 있는 실수를 유사 완전 온자리 수(pseudo perfect pandigital number)라 하자. 다음 수들은 모두 유사 완전 온자리 수들의 예이다.

352+4907186,32(5419)78+(90)!,5234267+108

위 예를 보면 알겠지만, 유사 완전 온자리 수들로 굉장히 많은 실수들을 표현할 수 있다는 사실을 알 수 있다. 그러면 자연상수 e 또한 유사 완전 온자리 수로 표현할 수 있을까? 만약 정확하게 표현해 내는 것이 불가능 하다면 얼마나 가깝게 근사할 수 있으까?

 

위 문제에 대하여 2004년 Richard Sabey는 자연상수 e를 유사 완전 온자리 수를 이용하여 매우 정확하게 근사할 수 있다는 사실을 증명하였다. 그는 e를 아래와 같이 근사하였는데,

e0+(1+947×6)3285

이 근사는 e와 소숫점 아래 18457734525360901453873570자리 까지 정확하다고 한다. Sabey가 어떻게 이러한 근사를 발견할 수 있었는지 생각해 보자. 사실 원리를 알고 보면 매우 간단하다.

 

우선 자연상수 e는 다음과 같이 극한을 이용해서 정의할 수 있다.

e=limn(1+1n)n

따라서 n이 충분히 크다면 e를 원하는 만큼 근사할 수 있을 것이다. 이제 N=3285라 정의하자. 그러면 거듭제곱의 성질에 의하여 N을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

N=3285=9284=9442=947×6

따라서 Sabey가 제시한 유사 완전 온자리 수를 N을 이용하여 다시 표현하면,

e0+(1+947×6)3285=(1+1N)N

임을 알 수 있다. 이제 N이 매우 큰 수이므로 e를 굉장히 잘 근사할 것이라는 사실을 알 수 있다.