아래과 같이 주어진 등차수열 \[ 1,\, 4,\, 7,\, \ldots,\, 1 + 3n,\, \ldots \] 의 경우는 등비수열인 부분수열 $(4^n)$을 가짐을 간단히 확인할 수 있다. (물론 이 외에도 무한히 많은 등비수열인 부분수열이 존재한다.) 또한 아래와 같이 주어진 등차수열 \[ \sqrt{2},\, 2\sqrt{2},\, 3\sqrt{2},\, \ldots,\, n\sqrt{2},\, \ldots \] 의 경우도 등비수열 $(\sqrt{2} \cdot 3^n)$을 부분수열로 갖는다. 반면 아래와 같이 주어진 등차수열 \[ 1,\, 1 + \sqrt{2},\, 1 + 2\sqrt{2},\, \ldots,\, 1 + n\sqrt{2},\, \ldots \] 의 경우는 어떻게 하더라도 등비수열인 부분수열을 찾을 수 없음을 알게 될 것이다. 이와 같은 차이가 있는 이유는 무엇일까?

$ $

$ $

증명. 먼저 수열 $(\ast)$가 등비수열인 부분수열을 가진다고 가정하자. 또한 $b \neq 0$이라 가정하자. 그러면 이 부분수열의 첫 세 항은 적당한 세 양의 정수 $m_1 < m_2 < m_3$를 이용하여 \[ a + m_1b, \; a + m_2b, \; a + m_3b \] 와 같이 나타낼 수 있다. 따라서 등비수열의 성질에 의해서 \[ (a + m_2b)^2 = (a + m_1b)(a + m_3b) \] 를 만족해야 한다. 위 식을 전개하여 정리하면 \[ (m_1 + m_3 - 2m_2)ab = (m_2^2 - m_1m_2) b^2 \] 를 얻는다. 이 때, $m_1 + m_3 - 2m_2 = 0$인 경우, $4m_2^2 = (m_1 + m_3)^2$이므로 \[ 0 = (4m_2^2 - 4m_1m_3) b^2 = ((m_1 + m_3)^2 - 4m_1m_3) b^2 = (m_1-m_3)^2 b^2 \] 이 되어 $b=0$이여야만 하는데 이는 가정에 모순이다. 따라서 주어진 식을 $(m_1 + m_3 - 2m_2)b^2$으로 나누어 \[ \frac{a}{b} = \frac{m_2^2 - m_1m_3}{m_1 + m_3 - 2m_2} \] 를 얻는다. 여기서 위 식의 우변의 $m_1,\, m_2,\, m_3$는 모두 (양의) 정수이므로 $\dfrac{a}{b}$는 유리수이다.

$ $

$ $

이제 반대의 경우를 증명하자. 먼저 $a=0$이거나 $b=0$인 경우 주어진 수열 $(\ast)$의 등비수열인 부분수열이 존재하는 것은 자명하므로, $a \neq 0,\, b \neq 0$이고 $\dfrac{a}{b}$는 유리수인 경우만 고려하면 충분하다. 이제 $\dfrac{a}{b}$의 부호에 따라서 두가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.

$ $

먼저 $\dfrac{a}{b} < 0$인 경우를 생각해 보자. 그러면 적당한 양의 정수 $N \in \N$이 존재하여, ($a<0$이고 $b>0$인 경우) 모든 $n \geq N$에 대하여 $a + nb > 0$이거나, ($a>0$이고 $b<0$인 경우) 모든 $n \geq N$에 대하여 $a + nb < 0$ 둘 중의 하나를 얻는다. 따라서 두 경우 모두 처음 $N$개의 항을 제외하고 $a^* = a + Nb$를 초항으로 생각하면 $\dfrac{a^*}{b} > 0$이 되어 이 경우만 고려해 주어도 충분함을 알 수 있다.

$ $

따라서 $\dfrac{a}{b} > 0$인 경우를 생각해 보도록 하자. 이 경우, 서로소인 양의 정수 $p,\, q$가 존재하여 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}$, 또는 $aq = pb$와 같이 나타낼 수 있다. 이제 $n \in \N$에 대하여 이제 $n \in \N$에 대하여 $K_n$을 다음과 같이 정의하자. \[ K_n = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} q^{k-1} \] 그러면 수열 $(K_n)$은 양의 정수로 이루어진 순증가수열임을 간단히 확인할 수 있다. 또한 각각의 $n \in \N$에 대하여 이항정리를 이용하면, \[ \begin{align*} a(1 + q)^n &= a \left[ 1 + \binom{n}{1} q + \binom{n}{2} q^2 + \cdots + \binom{n}{n}q^n \right] \\[5pt] &= a [1 + K_n q] = a + K_n aq = a + K_n pb \end{align*} \] 를 얻는다. 여기서 $(K_np)$ 또한 양의 정수로 이루어진 순증가수열이므로 $a(1 + q)^n$은 주어진 등차수열 $(\ast)$의 부분수열임을 알 수 있다..

$ $

참고. 위 정리를 반대로 생각하여, "등차수열을 부분수열로 갖는 등비수열이 존재할 필요충분조건"에 대해서 생각해 볼 수 있다. 주어진 등비수열을 $(ar^n)$이라 하자. 우선 $\abs{r}=1$인 경우는 등차수열인 부분수열이 존재함은 자명하다. 한 편, $\abs{r}>1$인 경우, 만약 등차수열인 부분수열이 존재한다고 가정하고 이 수열의 공차를 $b$라고 하면 \[ \abs{a}r^{N+2} - \abs{a}r^N = ar^N(r^2-1) > 2\abs{b} \] 를 만족하는 짝수 $N$이 존재한다. 이는 두개의 항 $ar^{N}$과 $a^{N+2}$ 사이에 적어도 세 개의 부분수열이 들어가야 한다는 뜻이고, 이는 모순이다. 반대로 $\abs{r} < 1$인 경우는 (수열 자체가 결국 $0$으로 수렴하기 때문에) $r=0$인 경우를 제외하면 등차수열인 부분수열을 가질 수 없다.