이번에 설명할 공식은 영국의 천문학자이자 수학자 에드몬드 핼리(Edmond Halley)가 발견한 자연로그를 거듭제곱근을 포함한 식의 극한으로 표현하는 방법이다.
증명. 이 증명의 핵심은 거듭제곱근을 $e$의 거듭제곱의 형태로 나타낸 뒤, 지수함수의 급수전개를 이용하는 것이다. 즉, 다음을 얻는다.
\begin{align*} n(\sqrt[n]{x}-1) &= n\left( e^{\frac{\ln{x}}{n}}-1 \right) \\[5pt] &= n\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\ln{x}/n)^{k})}{k!} -1 \right) \\[5pt] &= \sum_{{k=1}}^{\infty} \frac{n(\ln{x}/n)^{k}}{k!} \\[5pt] &= \ln{x}+\frac{1}{n} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(\ln{x})^{k}}{kn^{k-2}} \end{align*}
위 식의 마지막 급수는 ($n$이 충분히 클 때, 비교판정법(ratio test) 등을 이용하면) 유한합을 가짐을 알 수 있다. 따라서 위 식에 $n \to \infty$의 극한을 취하면, 우리가 원하는 공식을 얻게 된다..
공식 (1)의 존재는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler) 또한 알고 있었는데, 그는 이 공식을 자연로그를 정의하는데 사용했다고 알려져 있다. 공식 (1)을 이용하면 자연로그에 관한 잘 알려진 공식들을 유도할 수 있다. 하나 예를 들어 살펴보자.
예제 1. $\ln{xy} = \ln{x} + \ln{y}$.
\begin{align*} \ln{xy} &= \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}-1) \\[5pt] &= \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y} - \sqrt[n]{y} + \sqrt[n]{y}-1) \\[5pt] &= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{y}\; n(\sqrt[n]{x}-1) + \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{y}-1) \\[5pt] &= y^{0} \ln{x} + \ln{y} \\[5pt] &= \ln{x} + \ln{y}. \end{align*}
예제 2. $\ln{x^{-1}} = -\ln{x}$.
\begin{align*} \ln{\frac{1}{x}} &= \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{\sqrt[n]{x}}-1 \right) \\[5pt] &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{x}} n (1-\sqrt[n]{x}) \\[5pt] &= - \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{x}} n (\sqrt[n]{x}-1) \\[5pt] &= -x^{0}\ln{x} \\[5pt] &= -\ln{x}. \end{align*}
따라서 예제 1 과 예제 2를 통해 $\ln{\frac{x}{y}} = \ln{x} - \ln{y}$를 얻는다.
예제 3. $\ln{x^y} = y \ln{x}$.
좌변을 극한을 이용하여 표현하고 $n = \frac{1}{h}$로 치환한 후에 로피탈의 정리(L'Hospital's rule)를 이용하면 간단히 증명이 가능하다.
\begin{align*} \ln{x^y} &= \lim_{n \to \infty} n((\sqrt[n]{x})^y - 1) \\[5pt] &= \lim_{h \to 0} \frac{x^{yh} - 1}{h} \\[5pt] &= \lim_{h \to \infty} (y \ln{x}) x^{yh} \\[5pt] &= (y \ln{x}) x^0 \\[5pt] &= y \ln{x}. \end{align*}
로피탈의 정리를 이용하지 않고, 예제 1 또는 예제 2와 같이 대수적인 조작만을 이용하여 위 공식을 증명할 수 있을까?